Übung ET2-01.01 – Gemischte Widerstandsschaltung mit Stern-Dreieck (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-01 Einführung und Rückblick auf ET1

---

Aufgabe

Zu Beginn von ET2 frischen wir die Gleichstromtechnik aus ET1 auf. Eine Brückenschaltung mit Querwiderstand lässt sich nicht durch reine Reihen- und Parallelschaltung zusammenfassen – sie erfordert die Stern-Dreieck-Umwandlung aus ET1-05.

Ein Widerstandsnetzwerk liegt zwischen den Knoten A (oben) und D (unten) an einer Gleichspannungsquelle. Zwischen den Speiseknoten gibt es die Zwischenknoten B (links) und C (rechts), über $R_5$ quer verbunden:

• $R_1=100\Omega$ zwischen A und B (oben links)
• $R_2=300\Omega$ zwischen A und C (oben rechts)
• $R_3=400\Omega$ zwischen B und D (unten links)
• $R_4=200\Omega$ zwischen C und D (unten rechts)
• $R_5=500\Omega$ zwischen B und C (Querverbindung)
• Speisespannung: $U=10\mathrm{V}$ zwischen A und D

a) Skizzieren Sie die Schaltung.
b) Prüfen Sie mit der Abgleichbedingung $R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$ (vgl. ET2-01 Abschnitt 3.8), ob die Brücke abgeglichen ist. Was würde das für den Strom durch $R_5$ bedeuten?
c) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ zwischen A und D. Hinweis: Wandeln Sie den Stern aus $R_1$, $R_3$, $R_5$ am Knoten B in ein äquivalentes Dreieck um.
d) Welcher Strom $I$ fließt aus der Quelle und welche Leistung $P$ nimmt die Schaltung insgesamt auf?

Lösung

a) Skizze
b) $R_1\cdot R_4=20000{\Omega }^2\ne R_2\cdot R_3=120000{\Omega }^2$ – Brücke nicht abgeglichen, Strom durch $R_5$ ungleich null
c) $R_{\mathrm{ges}}\approx 236,5\Omega$
d) $I\approx 42,3\mathrm{mA}$, $P\approx 0,423\mathrm{W}$

◀️ zur Aufgabe

---

Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Widerstände: $R_1=100\Omega$ (A–B), $R_2=300\Omega$ (A–C), $R_3=400\Omega$ (B–D), $R_4=200\Omega$ (C–D), $R_5=500\Omega$ (B–C)
• Spannung: $U=10\mathrm{V}$

Bekannt:

• Abgleichbedingung der Wheatstone-Brücke: $R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$
• Stern-Dreieck-Umwandlung (ET1-05): $R_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{R_a{R}_b+R_b{R}_c+R_c{R}_a}{R_{\mathrm{gegen}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{ber}}}$
• Reihenschaltung: $R_{\mathrm{Reihe}}=\sum R_i$
• Parallelschaltung: $R_{\mathrm{Parallel}}={\left(\sum \frac{1}{R_i}\right)}^{-1}$
• Ohmsches Gesetz (ET1-04): $I=U/R$
• Leistung: $P=U\cdot I=U^2/R$

Gesucht

a) Skizze
b) Abgleichbedingung prüfen
c) Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ in $\Omega$
d) Strom $I$ in $\mathrm{A}$ und Leistung $P$ in $\mathrm{W}$

a) Skizze

Die Schaltung ist eine klassische Wheatstone-Brücke mit vier Brückenwiderständen $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ zwischen den Speiseknoten A und D sowie dem Querwiderstand $R_5$ zwischen den Zwischenknoten B und C. Würde $R_5$ unbelastet (Leerlauf) stehen, wäre die Schaltung in zwei parallele Spannungsteiler zerlegbar – wegen des endlichen $R_5$ fließt jedoch im Allgemeinen ein Querstrom, der diese Zerlegung unmöglich macht.

b) Abgleichbedingung

$$R_1\cdot R_4=100\Omega \cdot 200\Omega =20000{\Omega }^2$$ $$R_2\cdot R_3=300\Omega \cdot 400\Omega =120000{\Omega }^2$$

Die beiden Produkte sind nicht gleich – die Brücke ist nicht abgeglichen. Im abgeglichenen Fall wäre das Potenzial an den Knoten B und C identisch, und durch $R_5$ würde trotz eingeschalteter Quelle kein Strom fließen; $R_5$ könnte man dann wie eine unterbrochene Leitung behandeln, und die Schaltung zerfiele in zwei unabhängige Reihen-Parallel-Zweige.

Im vorliegenden (unabgeglichenen) Fall ist das nicht möglich. Wir brauchen die Stern-Dreieck-Umwandlung, um das Netzwerk auf eine reine Reihen-Parallel-Struktur zurückzuführen.

c) Ersatzwiderstand

Schritt 1: Stern-Dreieck-Umwandlung am Knoten B.

Die Widerstände $R_1$ (nach A), $R_3$ (nach D) und $R_5$ (nach C) bilden einen Stern mit Sternpunkt B. Wir wandeln ihn in ein äquivalentes Dreieck zwischen den Knoten A, C und D um. Der gemeinsame Zähler ist die Summe der drei Produktpaare:

$$Z=R_1\cdot R_3+R_3\cdot R_5+R_5\cdot R_1$$ $$Z=100\Omega \cdot 400\Omega +400\Omega \cdot 500\Omega +500\Omega \cdot 100\Omega =290000{\Omega }^2$$

Jeder Dreieckswiderstand ergibt sich durch Division von $Z$ durch den Sternwiderstand, der gegenüber der jeweiligen Dreieckskante liegt:

$$R_{AD}=\frac{Z}{R_5}=\frac{290000{\Omega }^2}{500\Omega }=580\Omega$$ $$R_{DC}=\frac{Z}{R_1}=\frac{290000{\Omega }^2}{100\Omega }=2900\Omega$$ $$R_{CA}=\frac{Z}{R_3}=\frac{290000{\Omega }^2}{400\Omega }=725\Omega$$

Schritt 2: Parallelschaltungen mit den Originalwiderständen am Außenrand.

Zwischen A und C liegen $R_2=300\Omega$ (original) und $R_{CA}=725\Omega$ (aus der Transformation) parallel:

$$R_{AC}^{\prime }=\frac{R_2\cdot R_{CA}}{R_2+R_{CA}}=\frac{300\Omega \cdot 725\Omega }{300\Omega +725\Omega }=\frac{217500}{1025}\Omega \approx 212,2\Omega$$

Zwischen C und D liegen $R_4=200\Omega$ und $R_{DC}=2900\Omega$ parallel:

$$R_{CD}^{\prime }=\frac{R_4\cdot R_{DC}}{R_4+R_{DC}}=\frac{200\Omega \cdot 2900\Omega }{200\Omega +2900\Omega }=\frac{580000}{3100}\Omega \approx 187,1\Omega$$

Schritt 3: Reihenschaltung des Pfades A → C → D.

$$R_{ACD}=R_{AC}^{\prime }+R_{CD}^{\prime }=212,2\Omega +187,1\Omega =399,3\Omega$$

Schritt 4: Parallelschaltung des Pfades über C mit der direkten Kante $R_{AD}$.

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_{AD}\cdot R_{ACD}}{R_{AD}+R_{ACD}}=\frac{580\Omega \cdot 399,3\Omega }{580\Omega +399,3\Omega }=\frac{231594}{979,3}\Omega \approx \underline{236,5\Omega }$$

d) Strom und Leistung

Nach dem Ohmschen Gesetz:

$$I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{10,0\mathrm{V}}{236,5\Omega }\approx 0,04228\mathrm{A}\approx \underline{42,3\mathrm{mA}}$$ $$P=U\cdot I=10,0\mathrm{V}\cdot 0,04228\mathrm{A}\approx \underline{0,423\mathrm{W}}$$

Probe über $P=U^2/R_{\mathrm{ges}}$:

$$P=\frac{(10,0\mathrm{V}{)}^2}{236,5\Omega }=\frac{100}{236,5}\mathrm{W}\approx 0,423\mathrm{W}✓$$

Systematik der Stern-Dreieck-Umwandlung

Wenn sich ein Netzwerk nicht durch reine Reihen- und Parallelschaltung zusammenfassen lässt, suchen Sie einen Knoten, an dem genau drei Widerstände zusammenlaufen (Stern) oder eine Dreiecksmasche. Wandeln Sie diese Struktur in die jeweils andere Topologie um – dabei entstehen fast immer Parallelschaltungen mit schon vorhandenen Widerständen, und das Problem reduziert sich auf die vertraute Reihen-Parallel-Rechnung. Dieses Vorgehen werden wir in ET2-05 eins zu eins auf komplexe Impedanznetzwerke übertragen – die Formeln gelten dort unverändert, nur dass alle Größen komplex werden.

Plausibilitätsprüfung

Der Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{ges}}\approx 236,5\Omega$ liegt unter dem Extremwert, den eine Reihen-Parallel-Abschätzung liefert: Ohne den Querwiderstand $R_5$ (also bei idealem Galvanometer) ergäben $R_1+R_3=500\Omega$ parallel zu $R_2+R_4=500\Omega$ genau $250\Omega$. Mit dem zusätzlichen Querpfad verringert sich der Gesamtwiderstand leicht – das passt zum berechneten Wert.