Übung ET2-02.01 – Kenngrößen einer sinusförmigen Wechselspannung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-02 Einführung in die Wechselstromtechnik

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Aufgabe

In einem Flugzeug-Bordnetz arbeitet die Wechselstromversorgung typischerweise mit einer höheren Frequenz als das öffentliche Netz – das spart Gewicht bei Transformatoren und Generatoren. Für das Bordnetz eines Verkehrsflugzeugs sei eine sinusförmige Wechselspannung mit

• Amplitude $\hat{u}=48\mathrm{V}$
• Frequenz $f=400\mathrm{Hz}$
• Nullphasenwinkel ${\phi }_0=0$

gegeben.

a) Berechnen Sie den Effektivwert $U$ der Spannung.

b) Bestimmen Sie die Periodendauer $T$ und die Kreisfrequenz $\omega$.

c) Geben Sie den Spitze-Spitze-Wert $u_{SS}$ an.

d) Stellen Sie die Zeitfunktion $u(t)$ auf und berechnen Sie den Momentanwert zum Zeitpunkt $t_1=0,5\mathrm{ms}$.

Lösung

a) $U\approx 33,9\mathrm{V}$
b) $T=2,50\mathrm{ms}$, $\omega \approx 2513rad/s$
c) $u_{SS}=96,0\mathrm{V}$
d) $u(t)=48\mathrm{V}\cdot \sin (2513\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot t)$, $u(0,5\mathrm{ms})\approx 45,7\mathrm{V}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Amplitude: $\hat{u}=48\mathrm{V}$
• Frequenz: $f=400\mathrm{Hz}$
• Nullphasenwinkel: ${\phi }_0=0$

Bekannt:

• Effektivwert sinusförmiger Größen (ET2-02): $U=\hat{u}/\sqrt{2}$
• Periodendauer und Frequenz (ET2-02): $T=1/f$
• Kreisfrequenz (ET2-02): $\omega =2\pi f=2\pi /T$
• Spitze-Spitze-Wert: $u_{SS}=2\hat{u}$
• Zeitfunktion: $u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_0)$

Gesucht

a) Effektivwert $U$ in $\mathrm{V}$
b) Periodendauer $T$ in $\mathrm{s}$ und Kreisfrequenz $\omega$ in $rad/s$
c) Spitze-Spitze-Wert $u_{SS}$ in $\mathrm{V}$
d) Zeitfunktion $u(t)$ und Momentanwert bei $t_1=0,5\mathrm{ms}$

a) Effektivwert

$$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}=\frac{48\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx \underline{33,9\mathrm{V}}$$

b) Periodendauer und Kreisfrequenz

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{400\mathrm{Hz}}=0,00250\mathrm{s}=\underline{2,50\mathrm{ms}}$$ $$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 400\mathrm{Hz}\approx \underline{2513rad/s}$$

c) Spitze-Spitze-Wert

$$u_{SS}=2\cdot \hat{u}=2\cdot 48\mathrm{V}=\underline{96,0\mathrm{V}}$$

d) Zeitfunktion und Momentanwert

Mit ${\phi }_0=0$ lautet die Zeitfunktion:

$$u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)=\underline{48\mathrm{V}\cdot \sin \left(2513\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot t\right)}$$

Für $t_1=0,5\mathrm{ms}=0,0005\mathrm{s}$ ergibt sich das Argument

$$\omega t_1=2513\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot 0,0005\mathrm{s}\approx 1,257\mathrm{rad}\widehat{=}72,0°$$

und damit

$$u(t_1)=48\mathrm{V}\cdot \sin (72,0°)\approx 48\mathrm{V}\cdot 0,9511\approx \underline{45,7\mathrm{V}}$$

Plausibilität: Bei $t_1=0,5\mathrm{ms}$ ist ein Fünftel der Periode ($T=2,5\mathrm{ms}$) vergangen. Das entspricht einem Winkel von $360°/5=72°$ – hier hat der Sinus bereits $95\%$ seines Scheitelwertes erreicht. Der berechnete Momentanwert liegt also dicht unter der Amplitude, was zur Lage kurz vor dem Scheitel passt.

Warum 400 Hz im Flugzeug?

Im Bordnetz von Verkehrsflugzeugen wird mit $400\mathrm{Hz}$ statt $50\mathrm{Hz}$ gearbeitet. Bei höherer Frequenz kommt man mit kleineren Transformator- und Generatorkernen aus, weil der magnetische Fluss weniger Kernquerschnitt benötigt – jedes Kilogramm zählt. Die Periodendauer von $2,5\mathrm{ms}$ ist dafür achtmal kürzer als im öffentlichen Netz.

Brücke zu ET2

In dieser Aufgabe beschreibt $u(t)$ die Spannung als reine Zeitfunktion. In ET2-03 werden wir dieselbe Spannung alternativ als komplexen Zeiger $\underline{U}=U\cdot e^{j{\phi }_u}$ schreiben. Solange ein Netzwerk linear ist und die Frequenz $\omega$ konstant bleibt, enthält dieser eine komplexe Zahl dieselbe Information wie die gesamte Zeitfunktion – und die Rechnung wird algebraisch deutlich einfacher.