Übung ET2-02.02 – Leistung am ohmschen Widerstand AC und DC (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-02 Einführung in die Wechselstromtechnik

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Aufgabe

Diese Aufgabe vertieft den Gedanken hinter dem Effektivwert: Er ist genau so definiert, dass Gleich- und Wechselspannung an demselben Widerstand dieselbe mittlere Leistung erzeugen. Gleichzeitig zeigt sie, warum die Amplitude für die Dimensionierung von Bauteilen wichtig bleibt.

An einem ohmschen Widerstand $R=20\Omega$ liegt eine sinusförmige Wechselspannung mit Amplitude $\hat{u}=60\mathrm{V}$ und Frequenz $f=50\mathrm{Hz}$.

a) Berechnen Sie den Effektivwert $U$ der Spannung und die Wirkleistung $P$, die am Widerstand umgesetzt wird.

b) Welche Gleichspannung $U_{\mathrm{DC}}$ müsste an demselben Widerstand anliegen, damit dieselbe mittlere Leistung umgesetzt wird?

c) Welche maximale Momentanspannung $u_{\max }$ tritt im Verlauf einer Periode auf? Welche maximale Momentanleistung $p_{\max }$ wird kurzzeitig am Widerstand umgesetzt?

d) Der Widerstand soll zur Glättung einen parallel geschalteten Kondensator erhalten. Welche Mindest-Nennspannung (Spannungsfestigkeit) sollte dieser Kondensator haben? Begründen Sie.

Lösung

a) $U\approx 42,4\mathrm{V}$, $P=90,0\mathrm{W}$
b) $U_{\mathrm{DC}}=U\approx 42,4\mathrm{V}$
c) $u_{\max }=\hat{u}=60,0\mathrm{V}$, $p_{\max }=180\mathrm{W}$
d) Mindestens $\hat{u}=60\mathrm{V}$, praktisch mit Sicherheitsmarge $\ge 100\mathrm{V}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Widerstand: $R=20\Omega$
• Amplitude der Spannung: $\hat{u}=60\mathrm{V}$
• Frequenz: $f=50\mathrm{Hz}$

Bekannt:

• Effektivwert (ET2-02): $U=\hat{u}/\sqrt{2}$
• Wirkleistung am ohmschen Widerstand: $P=U^2/R$
• Ohmsches Gesetz am Widerstand (zeitabhängig): $i(t)=u(t)/R$, somit $\hat{ı}=\hat{u}/R$
• Momentanleistung: $p(t)=u(t)\cdot i(t)$

Gesucht

a) Effektivwert $U$ und Wirkleistung $P$
b) Äquivalente Gleichspannung $U_{\mathrm{DC}}$
c) Scheitelwerte $u_{\max }$ und $p_{\max }$
d) Mindest-Nennspannung des Kondensators

a) Effektivwert und Wirkleistung

$$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}=\frac{60\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx \underline{42,4\mathrm{V}}$$ $$P=\frac{U^2}{R}=\frac{(42,43\mathrm{V}{)}^2}{20\Omega }=\frac{1800{\mathrm{V}}^2}{20\Omega }=\underline{90,0\mathrm{W}}$$

Probe über die Amplituden (äquivalent, weil $U^2={\hat{u}}^2/2$):

$$P=\frac{{\hat{u}}^2}{2R}=\frac{(60\mathrm{V}{)}^2}{2\cdot 20\Omega }=\frac{3600}{40}\mathrm{W}=90,0\mathrm{W}✓$$

b) Äquivalente Gleichspannung

Der Effektivwert ist genau so definiert, dass eine Gleichspannung dieses Wertes an demselben Widerstand dieselbe Wirkleistung erzeugt. Es gilt also direkt:

$$U_{\mathrm{DC}}=U\approx \underline{42,4\mathrm{V}}$$

Probe: An $R=20\Omega$ erzeugt diese Gleichspannung

$$P_{\mathrm{DC}}=\frac{U_{\mathrm{DC}}^2}{R}=\frac{(42,43\mathrm{V}{)}^2}{20\Omega }\approx 90,0\mathrm{W}✓$$

– dieselbe Leistung wie im AC-Fall.

c) Maximalwerte

Die maximale Momentanspannung entspricht der Amplitude:

$$u_{\max }=\hat{u}=\underline{60,0\mathrm{V}}$$

Die maximale Momentanleistung tritt auf, wenn die Spannung ihren Scheitelwert erreicht. Am ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase, also erreichen beide gleichzeitig ihr Maximum:

$$p_{\max }=\frac{{\hat{u}}^2}{R}=\frac{(60\mathrm{V}{)}^2}{20\Omega }=\underline{180\mathrm{W}}$$

Verhältnis zur Wirkleistung:

$$\frac{p_{\max }}{P}=\frac{180\mathrm{W}}{90,0\mathrm{W}}=2$$

Das Maximum der Momentanleistung ist also doppelt so groß wie der Mittelwert. Der Grund: Am ohmschen Widerstand pulsiert $p(t)=\hat{u}\hat{ı}{\sin }^2(\omega t)$ zwischen $0$ und $\hat{u}\hat{ı}$ mit doppelter Netzfrequenz, der Mittelwert liegt genau in der Mitte.

d) Dimensionierung des Kondensators

Der Kondensator muss im Betrieb zu jedem Zeitpunkt die anliegende Spannung aushalten. Entscheidend ist nicht der Effektivwert, sondern der Scheitelwert:

$$U_{\mathrm{nenn}}\ge \hat{u}=60\mathrm{V}$$

In der Praxis wählt man eine Sicherheitsmarge von mindestens 50–100 %, um Transienten (Schaltüberspannungen, Netzspitzen) und Alterung des Dielektrikums zu berücksichtigen. Ein sinnvolles Standardbauteil wäre daher ein Kondensator mit $U_{\mathrm{nenn}}\ge \underline{100\mathrm{V}}$.

Ein häufiger Anfängerfehler ist, die Spannungsfestigkeit am Effektivwert $U=42,4\mathrm{V}$ auszurichten und ein $50\mathrm{V}$-Bauteil zu wählen. Dieses würde im Betrieb zweimal pro Periode den Scheitelwert von $60\mathrm{V}$ sehen und frühzeitig ausfallen.

Systematik: Welche Kenngröße für welche Frage?

• Für die umgesetzte Leistung (Wärme, Wirkung): Effektivwert $U$ verwenden.
• Für die Bauteildimensionierung (Isolationsfestigkeit, Durchbruchspannung): Scheitelwert $\hat{u}$ verwenden.

Diese beiden Perspektiven laufen im Gleichstromkreis zusammen – dort gibt es nur einen Wert. In der Wechselstromtechnik braucht man beide Kenngrößen.

Brücke zu ET2

In dieser Aufgabe gilt die einfache Formel $P=U^2/R$ noch unverändert wie im Gleichstromkreis – weil wir an einem rein ohmschen Widerstand sind, wo Strom und Spannung in Phase bleiben. Sobald wir in ET2-04 Kondensatoren und Spulen einführen, tritt zwischen $u$ und $i$ eine Phasenverschiebung $\phi$ auf. Die Wirkleistung wird dann zu $P=U\cdot I\cdot \cos \phi$ – der Faktor $\cos \phi$ wird in ET2-06 als Leistungsfaktor eingeführt und ist das zentrale Thema der Leistungsbilanz im AC-Netz.