Übung ET2-07.02 – Zwei Kernabschnitte in Reihe (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Bezug zu ET2-07 Magnetischer Kreis

Aufgabe

Ein geschlossener magnetischer Kreis besteht aus zwei in Reihe durchflossenen Abschnitten unterschiedlichen Werkstoffs. Der Hauptweg ist aus Trafoblech (Abschnitt 1), der kürzere Abschnitt aus Stahlguss (Abschnitt 2). Der magnetische Fluss $\Phi$ durchläuft beide Abschnitte hintereinander. Der Querschnitt ist überall gleich.

• Windungszahl: $N=800$
• Stromstärke: $I=0,20\mathrm{A}$
• Querschnitt überall: $A=4,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$
• Abschnitt 1 (Trafoblech): $l_1=0,40\mathrm{m}$, ${\mu }_{r1}=4000$
• Abschnitt 2 (Stahlguss): $l_2=0,10\mathrm{m}$, ${\mu }_{r2}=800$

Streuflüsse werden vernachlässigt.

a) Berechnen Sie die magnetischen Widerstände $R_{\mathrm{m},1}$ und $R_{\mathrm{m},2}$ der beiden Abschnitte sowie den Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$.

b) Berechnen Sie den magnetischen Fluss $\Phi$ im Kreis.

c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte $B$. Begründen Sie kurz, warum sie in beiden Abschnitten denselben Wert hat.

d) Berechnen Sie die magnetischen Spannungsabfälle $V_{m,1}$ und $V_{m,2}$ über den beiden Abschnitten. Prüfen Sie über $V_{m,1}+V_{m,2}=\Theta$. Welcher Abschnitt „verbraucht” den größeren Anteil der Durchflutung, und warum – obwohl er kürzer ist?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $N=800$, $I=0,20\mathrm{A}$
• $A=4,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• $l_1=0,40\mathrm{m}$, ${\mu }_{r1}=4000$
• $l_2=0,10\mathrm{m}$, ${\mu }_{r2}=800$

Bekannt:

• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$
• magnetischer Widerstand (ET2-07): $R_{\mathrm{m}}=\frac{l}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$
• Reihenschaltung magnetischer Widerstände (ET2-07): $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}=R_{\mathrm{m},1}+R_{\mathrm{m},2}$
• Durchflutung: $\Theta =N\cdot I$
• Hopkinsonsches Gesetz: $\Theta =\Phi \cdot R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$
• magnetischer Spannungsabfall: $V_{m,k}=\Phi \cdot R_{\mathrm{m},k}$

Gesucht

a) $R_{\mathrm{m},1}$, $R_{\mathrm{m},2}$, $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$ in $A/Wb$
b) magnetischer Fluss $\Phi$ in $\mathrm{Wb}$
c) Flussdichte $B$ in $\mathrm{T}$, mit Begründung
d) magnetische Spannungsabfälle $V_{m,1}$, $V_{m,2}$ in $\mathrm{A}$; dominanter Abschnitt mit Begründung

a) Magnetische Widerstände

Trafoblech:

$$R_{\mathrm{m},1}=\frac{l_1}{{\mu }_0\cdot {\mu }_{r1}\cdot A}=\frac{0,40\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 4000\cdot 4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{m},1}=\frac{0,40}{2,011\cdot 10^{-6}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{1,99\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

Stahlguss:

$$R_{\mathrm{m},2}=\frac{l_2}{{\mu }_0\cdot {\mu }_{r2}\cdot A}=\frac{0,10\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 800\cdot 4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{m},2}=\frac{0,10}{4,021\cdot 10^{-7}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{2,49\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

Gesamtwiderstand (Reihenschaltung):

$$R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}=R_{\mathrm{m},1}+R_{\mathrm{m},2}=1,99\cdot 10^5+2,49\cdot 10^5=\underline{4,48\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

b) Magnetischer Fluss

Durchflutung:

$$\Theta =N\cdot I=800\cdot 0,20\mathrm{A}=160\mathrm{A}$$

Magnetischer Fluss:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}}=\frac{160\mathrm{A}}{4,48\cdot 10^{5}A/Wb}=\underline{3,58\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}}$$

c) Magnetische Flussdichte

$$B=\frac{\Phi }{A}=\frac{3,58\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}}{4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}=\underline{0,894\mathrm{T}}$$

Begründung der Gleichheit in beiden Abschnitten:

Da die Reihenschaltung magnetischer Widerstände der Reihenschaltung im elektrischen Kreis entspricht, ist der Fluss $\Phi$ in beiden Abschnitten identisch (Knotenregel ohne Verzweigung). Bei gleichem Querschnitt $A_1=A_2=A$ folgt aus $B=\Phi /A$ unmittelbar $B_1=B_2$. Was sich zwischen den Abschnitten unterscheidet, ist nicht die Flussdichte, sondern die Feldstärke – wegen der unterschiedlichen Permeabilitäten.

d) Magnetische Spannungsabfälle

Trafoblech:

$$V_{m,1}=\Phi \cdot R_{\mathrm{m},1}=3,58\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}\cdot 1,99\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{71,1\mathrm{A}}$$

Stahlguss:

$$V_{m,2}=\Phi \cdot R_{\mathrm{m},2}=3,58\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}\cdot 2,49\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{88,9\mathrm{A}}$$

Probe (Durchflutungssatz):

$$V_{m,1}+V_{m,2}=71,1\mathrm{A}+88,9\mathrm{A}=160,0\mathrm{A}=\Theta ✓$$

Anteile an der Durchflutung:

Abschnitt	Länge	${\mu }_r$	$R_{\mathrm{m}}$	$V_m$	Anteil an $\Theta$
Trafoblech	$0,40\mathrm{m}$	$4000$	$1,99\cdot 10^{5}A/Wb$	$71,1\mathrm{A}$	$44,4\%$
Stahlguss	$0,10\mathrm{m}$	$800$	$2,49\cdot 10^{5}A/Wb$	$88,9\mathrm{A}$	$55,6\%$

Diskussion:

Obwohl der Stahlguss-Abschnitt nur ein Viertel der Trafoblech-Länge hat, „verbraucht” er $55,6\%$ der Durchflutung und dominiert damit den Kreis. Ursache ist die fünfmal kleinere Permeabilität: Der magnetische Widerstand skaliert mit $l/{\mu }_r$, und das Verhältnis dieser beiden Faktoren ist hier:

$$\frac{R_{\mathrm{m},2}}{R_{\mathrm{m},1}}=\frac{l_2/{\mu }_{r2}}{l_1/{\mu }_{r1}}=\frac{0,10/800}{0,40/4000}=\frac{1,25\cdot 10^{-4}}{1,00\cdot 10^{-4}}=1,25$$

Der Stahlguss hat also die $1,25$-fache Reluktanz des deutlich längeren Trafoblech-Abschnitts.

Praktische Konsequenz

Bei realen Magnetkreisen (z. B. Transformator-Kern + Polschuh, Motor-Joch + Pol-Übergang) lohnt es sich, gerade die kurzen Abschnitte mit niedriger Permeabilität gezielt zu identifizieren. Sie dominieren oft den Gesamtwiderstand. Ein Wechsel des Polschuh-Materials kann die Durchflutungsanforderung stärker senken als eine Verkürzung des Hauptwegs.

Brücke zu ET2

Dieselbe Reihenschaltungs-Logik begegnet uns in ET2-08 beim Modell der realen Spule: Wicklungswiderstand und Induktivität liegen elektrisch in Reihe, magnetisch addieren sich Eisen- und Luftspaltreluktanz. Die Methode aus dieser Übung – Einzelwiderstände aufaddieren, dann Gesamtfluss berechnen – ist das Werkzeug der Wahl, sobald in 07.03 der Luftspalt hinzukommt.

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