Übung ET2-08.04 – Induktive Ladestation für ein Pedelec (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Bezug zu ET2-08 Induktivität und Reale Spule

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Aufgabe

In einer Tiefgarage steht eine induktive Ladestation für ein Pedelec. Eine flache Primärspule ist im Bodenbelag verbaut, eine zweite Sekundärspule sitzt im Rahmen des Pedelecs. Steht das Rad korrekt über der Ladematte, sind beide Spulen magnetisch gekoppelt.

• Induktivität der Primärspule: $L_1=80\mu \mathrm{H}$
• Induktivität der Sekundärspule: $L_2=320\mu \mathrm{H}$
• Kopplungsfaktor zwischen Bodenmatte und Pedelec-Spule: $k=0,70$
• Stromänderung im Primärkreis während eines Schaltzyklus: $\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}=5,0\cdot 10^{4}A/s$

a) Berechnen Sie die Gegeninduktivität $M$ der beiden Spulen.
b) Berechnen Sie die in der Sekundärspule induzierte Spannung $u_{21}$.

Kurzlösung

a) $M=112\mu \mathrm{H}$
b) $u_{21}=5,60\mathrm{V}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $L_1=80\mu \mathrm{H}$
• $L_2=320\mu \mathrm{H}$
• $k=0,70$
• $\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}=5,0\cdot 10^{4}A/s$

Bekannt:

• Gegeninduktivität und Kopplungsfaktor (ET2-08): $M=k\cdot \sqrt{L_1\cdot L_2}$
• Induzierte Spannung bei magnetisch gekoppelten Spulen (ET2-08): $u_{21}(t)=M\cdot \frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}$

Gesucht

a) $M$ in $\mu \mathrm{H}$
b) $u_{21}$ in $\mathrm{V}$

a) Gegeninduktivität

$$M=k\cdot \sqrt{L_1\cdot L_2}=0,70\cdot \sqrt{80\mu \mathrm{H}\cdot 320\mu \mathrm{H}}=0,70\cdot \sqrt{25600\mu {\mathrm{H}}^2}=0,70\cdot 160\mu \mathrm{H}=\underline{112\mu \mathrm{H}}$$

b) Induzierte Sekundärspannung

$$u_{21}=M\cdot \frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}=112\cdot 10^{-6}\mathrm{H}\cdot 5,0\cdot 10^4\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{s}}=\underline{5,60\mathrm{V}}$$

Praxis-Einordnung

Echte induktive Ladestationen arbeiten mit Wechselstrom hoher Frequenz (zehn bis hunderte $\mathrm{kHz}$) — die hier eingesetzte Stromänderung $5\cdot 10^{4}A/s$ entspricht etwa der maximalen Änderungsrate (im Nulldurchgang) eines sinusförmigen Stroms von ${\hat{i}}_1=0,5\mathrm{A}$ bei $f\approx 16\mathrm{kHz}$. Auf der Sekundärseite wird die induzierte Wechselspannung gleichgerichtet und lädt damit den Akku.

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