Übung ET2-01.04 – Von Gleichstrom zu Wechselstrom am ohmschen Widerstand (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-01 Einführung und Rückblick auf ET1

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Aufgabe

Mit dieser Aufgabe schlagen wir die Brücke von der Gleich- zur Wechselstromtechnik. An einem rein ohmschen Widerstand $R=100\Omega$ liegt die zeitlich veränderliche Spannung

$$u(t)=\hat{U}\cdot \sin (\omega t)\text{mit}\hat{U}=325\mathrm{V}\text{ und }f=50\mathrm{Hz}$$

a) Berechnen Sie den Effektivwert $U$ der Spannung, die Kreisfrequenz $\omega$, die Periode $T$ und die Amplitude $\hat{I}$ des Stromes.

b) Geben Sie den Effektivwert $I$ des Stromes und die Zeitfunktion $i(t)$ an.

c) Bestimmen Sie die Momentanleistung $p(t)=u(t)\cdot i(t)$ als Funktion der Zeit. Wie groß sind Maximum und Minimum? Was ist besonders im Vorzeichen von $p(t)$?

d) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung (Wirkleistung) $P$ am Widerstand. Prüfen Sie das Ergebnis über $P=U\cdot I$ und $P=U^2/R$.

Lösung

a) $U\approx 230\mathrm{V}$, $\omega \approx 314,16rad/s$, $T=20\mathrm{ms}$, $\hat{I}=3,25\mathrm{A}$
b) $I\approx 2,30\mathrm{A}$, $i(t)=3,25\mathrm{A}\cdot \sin (314,16\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot t)$
c) $p(t)=1056\mathrm{W}\cdot {\sin }^2(\omega t)$, $p_{\max }\approx 1056\mathrm{W}$, $p_{\min }=0\mathrm{W}$; $p(t)$ ist nie negativ
d) $P\approx 528\mathrm{W}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Amplitude der Spannung: $\hat{U}=325\mathrm{V}$
• Frequenz: $f=50\mathrm{Hz}$
• Widerstand: $R=100\Omega$
• Zeitfunktion: $u(t)=\hat{U}\cdot \sin (\omega t)$

Bekannt:

• Kreisfrequenz: $\omega =2\pi f$
• Periode: $T=1/f$
• Effektivwert sinusförmiger Größen: $U=\hat{U}/\sqrt{2}$, $I=\hat{I}/\sqrt{2}$
• Ohmsches Gesetz (zeitabhängig, am ohmschen Widerstand): $i(t)=u(t)/R$
• Trigonometrische Identität: ${\sin }^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos (2x))$, also $\overline{{\sin }^2(x)}=1/2$
• Momentanleistung: $p(t)=u(t)\cdot i(t)$
• Wirkleistung (Mittelwert): $P=\overline{p(t)}=U\cdot I=U^2/R$

Gesucht

a) $U$, $\omega$, $T$, $\hat{I}$
b) $I$ und $i(t)$
c) $p(t)$, Maximum, Minimum, Vorzeichen
d) Wirkleistung $P$

a) Effektivwert, Kreisfrequenz, Periode, Stromamplitude

Effektivwert der Spannung:

$$U=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}=\frac{325\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx \underline{229,8\mathrm{V}}$$

Das ist der bekannte Effektivwert der deutschen Netzspannung, $U\approx 230\mathrm{V}$.

Kreisfrequenz:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}\approx \underline{314,16rad/s}$$

Periode:

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50\mathrm{Hz}}=0,02\mathrm{s}=\underline{20\mathrm{ms}}$$

Stromamplitude nach dem Ohmschen Gesetz (da $R$ frequenzunabhängig ist, gilt es auch für die Amplitude):

$$\hat{I}=\frac{\hat{U}}{R}=\frac{325\mathrm{V}}{100\Omega }=\underline{3,25\mathrm{A}}$$

b) Effektivwert des Stroms und Zeitfunktion

$$I=\frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}=\frac{3,25\mathrm{A}}{\sqrt{2}}\approx \underline{2,30\mathrm{A}}$$

Da $u$ und $i$ am ohmschen Widerstand in Phase sind (keine Phasenverschiebung), lautet die Zeitfunktion:

$$i(t)=\frac{u(t)}{R}=\underline{3,25\mathrm{A}\cdot \sin (314,16\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot t)}$$

c) Momentanleistung

$$p(t)=u(t)\cdot i(t)=\hat{U}\cdot \hat{I}\cdot {\sin }^2(\omega t)$$ $$p(t)=325\mathrm{V}\cdot 3,25\mathrm{A}\cdot {\sin }^2(\omega t)=\underline{1056,25\mathrm{W}\cdot {\sin }^2(\omega t)}$$

Maximum (bei ${\sin }^2(\omega t)=1$, also $\omega t=\pi /2,3\pi /2,\dots$):

$$p_{\max }=\hat{U}\cdot \hat{I}=\underline{1056\mathrm{W}}$$

Minimum (bei $\sin (\omega t)=0$, also $\omega t=0,\pi ,2\pi ,\dots$):

$$p_{\min }=\underline{0\mathrm{W}}$$

Besonderheit: Die Momentanleistung ist nie negativ, weil ${\sin }^2(\omega t)\ge 0$ für alle $t$ gilt. Das bedeutet physikalisch: Am ohmschen Widerstand wird die elektrische Energie zu jedem Zeitpunkt in Wärme umgesetzt – es fließt nie Energie zurück zur Quelle. Dieses Verhalten ist charakteristisch für einen rein ohmschen Verbraucher bei Wechselstrom.

Umformung mit Doppelfrequenz – Vorblick auf ET2-06

Mit der trigonometrischen Identität ${\sin }^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos (2x))$ lässt sich die Momentanleistung als Summe aus konstantem Anteil und Wechselanteil mit doppelter Frequenz schreiben:

$$p(t)=\frac{\hat{U}\hat{I}}{2}(1-\cos (2\omega t))$$

Der konstante Anteil $\hat{U}\hat{I}/2$ ist genau die Wirkleistung, die im Mittel am Widerstand umgesetzt wird. Der pulsierende Anteil $-\frac{\hat{U}\hat{I}}{2}\cos (2\omega t)$ schwingt mit doppelter Netzfrequenz ($100\mathrm{Hz}$ bei $50\mathrm{Hz}$-Netz) um diesen Mittelwert. In ET2-06 werden wir sehen, dass sich bei Kondensator und Spule dieselbe Doppelfrequenz-Pulsation zeigt – allerdings mit verschwindendem Mittelwert. Das pendelt dann reine Blindleistung hin und her.

d) Wirkleistung

Die Wirkleistung ist der zeitliche Mittelwert der Momentanleistung. Aus der Umformung oben folgt direkt:

$$P=\overline{p(t)}=\frac{\hat{U}\cdot \hat{I}}{2}=\frac{325\mathrm{V}\cdot 3,25\mathrm{A}}{2}\approx \underline{528\mathrm{W}}$$

Probe über die Effektivwerte:

$$P=U\cdot I\approx 229,8\mathrm{V}\cdot 2,298\mathrm{A}\approx 528\mathrm{W}✓$$

Probe über $U^2/R$:

$$P=\frac{U^2}{R}=\frac{(229,8\mathrm{V}{)}^2}{100\Omega }\approx 528\mathrm{W}✓$$

Alle drei Rechenwege liefern denselben Wert (auf drei signifikante Stellen gerundet) – das ist kein Zufall, sondern die Definition des Effektivwerts.

Warum ist der Effektivwert so definiert?

Der Effektivwert $U$ einer Wechselspannung ist genau so gewählt, dass eine Gleichspannung $U$ an demselben Widerstand $R$ dieselbe Wirkleistung erzeugt. Genau deshalb gilt $P=U\cdot I=U^2/R$ formal wie in der Gleichstromtechnik. Diese Definition ist keine Willkür, sondern der direkte Grund, warum wir in der Wechselstromtechnik mit Effektivwerten rechnen.

Brücke zu ET2

Am ohmschen Widerstand bleibt die Leistungsbetrachtung vertraut: Strom und Spannung sind in Phase, die Momentanleistung ist nie negativ, und die Wirkleistung entspricht dem Produkt der Effektivwerte. Sobald wir in ET2-04 Kondensatoren und Spulen einführen, ändert sich das grundlegend: Dort tritt eine Phasenverschiebung zwischen $u$ und $i$ auf, $p(t)$ wird abschnittsweise negativ (Energie pendelt zwischen Quelle und Bauelement), und wir benötigen neue Begriffe – Blindleistung und Scheinleistung. Die vorliegende Aufgabe ist also der letzte Blick auf den vertrauten rein ohmschen Fall, bevor die AC-Welt wirklich beginnt.