Übung ET2-01.05 – Kirchhoffsche Regeln mit zwei Quellen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-01 Einführung und Rückblick auf ET1

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Aufgabe

Die Kirchhoffschen Regeln aus ET1-06 sind das Standardwerkzeug, sobald mehrere Quellen oder Verzweigungen im Spiel sind. In dieser Aufgabe frischen Sie sie an einem Netzwerk mit zwei Spannungsquellen auf – ein Muster, das Ihnen in ET2-03 und ET2-05 in komplexer Form wiederbegegnen wird.

Drei parallele Zweige verbinden den oberen Knoten B mit der unteren Sammelschiene (Masse, Knoten D):

• Linker Zweig: Spannungsquelle $U_1=14\mathrm{V}$ in Reihe mit $R_1=2\Omega$
• Rechter Zweig: Spannungsquelle $U_2=12\mathrm{V}$ in Reihe mit $R_2=4\Omega$
• Mittlerer Zweig: $R_3=2\Omega$

Beide Quellen sind mit dem Pluspol zur Masseschiene hin gepolt. Als Zählpfeile wählen wir: $I_1$ fließt von $U_1$ über $R_1$ nach oben in den Knoten B; $I_2$ analog im rechten Zweig nach oben; $I_3$ fließt von B nach unten durch $R_3$ zur Masse.

a) Skizzieren Sie die Schaltung und tragen Sie die drei Zählpfeile ein.
b) Stellen Sie die Kirchhoffsche Knotenregel (KCL) für Knoten B sowie die Maschengleichungen für die linke und die rechte Masche auf.
c) Lösen Sie das Gleichungssystem nach $I_1$, $I_2$ und $I_3$.
d) Verifizieren Sie das Ergebnis durch die Leistungsbilanz: Die Summe der von den Quellen abgegebenen Leistungen muss der Summe der in den Widerständen umgesetzten Leistungen entsprechen.

Lösung

b) KCL: $I_1+I_2=I_3$; Maschen: $U_1=R_1{I}_1+R_3{I}_3$, $U_2=R_2{I}_2+R_3{I}_3$
c) $I_1=3,0\mathrm{A}$, $I_2=1,0\mathrm{A}$, $I_3=4,0\mathrm{A}$
d) Summe abgegeben $54\mathrm{W}$ = Summe aufgenommen $54\mathrm{W}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannungsquellen: $U_1=14\mathrm{V}$, $U_2=12\mathrm{V}$
• Widerstände: $R_1=2\Omega$, $R_2=4\Omega$, $R_3=2\Omega$
• Zählpfeile: $I_1$, $I_2$ nach oben (in Knoten B), $I_3$ nach unten (aus Knoten B)

Bekannt:

• Kirchhoffsche Knotenregel (KCL): $\sum I_k=0$ am Knoten
• Kirchhoffsche Maschenregel (KVL): $\sum U_k=0$ in geschlossener Masche
• Leistung an einem Widerstand: $P_R=R\cdot I^2$
• Abgegebene Leistung einer Spannungsquelle: $P_{\mathrm{Quelle}}=U\cdot I$ (wenn Strom im Zählpfeilsinn aus dem Pluspol austritt)

Gesucht

a) Skizze mit Zählpfeilen
b) Knoten- und Maschengleichungen
c) Ströme $I_1$, $I_2$, $I_3$ in $\mathrm{A}$
d) Leistungsbilanz

a) Skizze

Die Schaltung besteht aus drei parallelen Zweigen zwischen dem oberen Knoten B und der Masseschiene D. Der linke und der rechte Zweig enthalten je eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand, der mittlere Zweig nur den Widerstand $R_3$. Die beiden Maschen (links und rechts, jeweils durch $R_3$ geschlossen) und der eine Knoten B bilden ein vollständiges System.

b) Kirchhoffsche Gleichungen

Knotenregel (KCL) am Knoten B:

Die Ströme $I_1$ und $I_2$ fließen in den Knoten hinein, $I_3$ fließt heraus. Mit der Vorzeichenkonvention „hinein positiv, heraus negativ”:

$$I_1+I_2-I_3=0⟺\underline{I_1+I_2=I_3}$$

Maschenregel (KVL), linke Masche (umfahren im Uhrzeigersinn, Start am negativen Pol von $U_1$):

$$-U_1+R_1\cdot I_1+R_3\cdot I_3=0$$ $$\underline{U_1=R_1\cdot I_1+R_3\cdot I_3}$$

Maschenregel (KVL), rechte Masche:

$$\underline{U_2=R_2\cdot I_2+R_3\cdot I_3}$$

c) Lösung des Gleichungssystems

Die drei Gleichungen mit den Zahlenwerten:

$$\text{(I)}14=2I_1+2I_3\Rightarrow 7=I_1+I_3$$ $$\text{(II)}12=4I_2+2I_3\Rightarrow 6=2I_2+I_3$$ $$\text{(III)}{I}_1+I_2=I_3$$

Aus (III): $I_1=I_3-I_2$. Einsetzen in (I):

$$7=(I_3-I_2)+I_3=2I_3-I_2$$

Zusammen mit (II) als Zwei-Unbekannten-System:

$$2I_3-I_2=7(1^{\prime })$$ $$2I_2+I_3=6(2^{\prime })$$

Aus $(2^{\prime })$: $I_3=6-2I_2$. Einsetzen in $(1^{\prime })$:

$$2(6-2I_2)-I_2=7\Rightarrow 12-5I_2=7\Rightarrow I_2=1$$

Rückwärts: $I_3=6-2\cdot 1=4$, $I_1=I_3-I_2=4-1=3$.

$$\underline{I_1=3,0\mathrm{A},I_2=1,0\mathrm{A},I_3=4,0\mathrm{A}}$$

Probe über KCL: $I_1+I_2=3+1=4=I_3✓$

d) Leistungsbilanz

Abgegebene Leistung der Quellen:

$$P_{U_1}=U_1\cdot I_1=14\mathrm{V}\cdot 3,0\mathrm{A}=42\mathrm{W}$$ $$P_{U_2}=U_2\cdot I_2=12\mathrm{V}\cdot 1,0\mathrm{A}=12\mathrm{W}$$ $$P_{\mathrm{Q},\mathrm{ges}}=P_{U_1}+P_{U_2}=\underline{54\mathrm{W}}$$

In den Widerständen umgesetzte Leistung:

$$P_{R_1}=R_1\cdot I_1^2=2\Omega \cdot (3\mathrm{A}{)}^2=18\mathrm{W}$$ $$P_{R_2}=R_2\cdot I_2^2=4\Omega \cdot (1\mathrm{A}{)}^2=4\mathrm{W}$$ $$P_{R_3}=R_3\cdot I_3^2=2\Omega \cdot (4\mathrm{A}{)}^2=32\mathrm{W}$$ $$P_{\mathrm{R},\mathrm{ges}}=18+4+32=\underline{54\mathrm{W}}$$

Bilanz: $P_{\mathrm{Q},\mathrm{ges}}=P_{\mathrm{R},\mathrm{ges}}=54\mathrm{W}✓$

Die Energieerhaltung ist erfüllt – alles, was die Quellen einspeisen, wird in den Widerständen in Wärme umgesetzt. Das ist zugleich die physikalische Grundlage der beiden Kirchhoffschen Regeln: KCL ist die Ladungserhaltung, KVL ist die Energieerhaltung auf jeder Masche.

Brücke zu ET2

Dieselben Gleichungen gelten wörtlich auch für Wechselstromnetzwerke – nur dass $U$, $I$ und $R$ dann durch die komplexen Größen $\underline{U}$, $\underline{I}$ und $\underline{Z}$ ersetzt werden. Das lineare Gleichungssystem bleibt strukturell identisch, es wird lediglich im Bereich der komplexen Zahlen gelöst. Das werden wir in ET2-05 systematisch nutzen.

Alternative Lösungsverfahren

Für dieses dreizeilige System ist die Einsetzungsmethode am schnellsten. Bei größeren Netzwerken lohnen sich allgemeinere Verfahren: Maschenstromanalyse, Knotenspannungsanalyse, Superposition oder Ersatzspannungsquelle nach Thévenin/Norton. Alle wurden in ET1-07 besprochen und gelten in der Wechselstromtechnik unverändert.