Übung ET2-01.06 – Spannungsrichtig oder stromrichtig messen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-01 Einführung und Rückblick auf ET1

Aufgabe

Im ersten Praktikum bestimmen Sie unbekannte Widerstände durch gleichzeitige Messung von Spannung und Strom (U/I-Methode). Weil Voltmeter und Amperemeter reale Innenwiderstände besitzen, erzeugt jede der beiden möglichen Schaltungsvarianten einen systematischen Messfehler. In dieser Aufgabe quantifizieren Sie diesen Fehler und leiten eine Entscheidungsregel für die Versuchsvorbereitung ab.

Zwei Schaltungsvarianten:

Spannungsrichtig: Das Voltmeter misst die Spannung direkt an $R_{x}$ . Das Amperemeter liegt vor dem Parallelzweig aus Voltmeter und $R_{x}$ – es misst also den Strom durch $R_{x}$ plus den Strom durch das Voltmeter.
Stromrichtig: Das Amperemeter liegt in Reihe mit $R_{x}$ und misst genau den Strom durch $R_{x}$ . Das Voltmeter misst dagegen die Summe aus Spannung über $R_{x}$ und Spannung über dem Amperemeter.

Messgeräte-Innenwiderstände:

Voltmeter: $R_{V} = 10 M Ω$
Amperemeter: $R_{A} = 0, 1 Ω$

a) Skizzieren Sie beide Schaltungsvarianten mit Voltmeter (V), Amperemeter (A), Quelle und $R_{x}$ .

b) Leiten Sie für beide Varianten die Formel für den aus den Messwerten berechneten Widerstand $R_{mess} = U_{mess} / I_{mess}$ als Funktion von $R_{x}$ , $R_{V}$ bzw. $R_{A}$ her.

c) Berechnen Sie für $R_{x} = 1 Ω$ und $R_{x} = 1 M Ω$ jeweils den relativen systematischen Messfehler $f = (R_{mess} - R_{x}) / R_{x}$ in beiden Schaltungsvarianten.

d) Leiten Sie den Grenzwiderstand $R_{x, grenz}$ her, bei dem beide Methoden betragsmäßig denselben Fehler liefern. Welche Methode ist oberhalb, welche unterhalb dieser Grenze günstiger?

◀️ zur Aufgabe

Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

Voltmeter-Innenwiderstand: $R_{V} = 10 M Ω = 1 \cdot 1 0^{7} Ω$
Amperemeter-Innenwiderstand: $R_{A} = 0, 1 Ω$
Vergleichswerte: $R_{x} = 1 Ω$ und $R_{x} = 1 M Ω = 1 \cdot 1 0^{6} Ω$

Bekannt:

Ideales Voltmeter: $R_{V} \to \infty$ , misst ohne Nebenschluss
Ideales Amperemeter: $R_{A} \to 0$ , misst ohne Spannungsabfall
Reale Messgeräte weichen von diesen Idealen ab und erzeugen systematische Fehler

Gesucht

a) Skizzen beider Schaltungen
b) Formeln für $R_{mess}$
c) Relative Fehler für $R_{x} = 1 Ω$ und $R_{x} = 1 M Ω$
d) Grenzwiderstand $R_{x, grenz}$ und Entscheidungsregel

a) Skizze

Links: spannungsrichtig – Voltmeter direkt an $R_{x}$ , Amperemeter davor. Rechts: stromrichtig – Amperemeter in Reihe mit $R_{x}$ , Voltmeter über die Serienschaltung $A + R_{x}$ .

b) Formeln für den gemessenen Widerstand

Spannungsrichtig: Das Voltmeter zeigt $U_{mess} = U_{R_{x}}$ korrekt an. Das Amperemeter zeigt jedoch $I_{mess} = I_{R_{x}} + I_{V}$ , wobei $I_{V} = U_{R_{x}} / R_{V}$ der Nebenstrom durch das Voltmeter ist. Damit:

R_{mess} = \frac{U _{mess}}{I _{mess}} = \frac{U _{R_{x}}}{I _{R_{x}} + I _{V}} = \frac{U _{R_{x}}}{U _{R_{x}} / R _{x} + U _{R_{x}} / R _{V}}

\underline{R_{mess, V} = \frac{R _{x} \cdot R _{V}}{R _{x} + R _{V}}}

Das ist die Parallelschaltung $R_{x} ∥ R_{V}$ . Der Messwert liegt unter $R_{x}$ – je näher $R_{x}$ an $R_{V}$ heranreicht, desto stärker.

Stromrichtig: Das Amperemeter zeigt $I_{mess} = I_{R_{x}}$ korrekt an. Das Voltmeter misst jedoch $U_{mess} = U_{R_{x}} + U_{A} = I \cdot (R_{x} + R_{A})$ . Damit:

\underline{R_{mess, A} = \frac{U _{mess}}{I _{mess}} = R_{x} + R_{A}}

Der Messwert liegt über $R_{x}$ – je näher $R_{x}$ an $R_{A}$ heranreicht, desto stärker.

c) Relative Messfehler

Allgemeine Formeln:

f_{V} = \frac{R _{mess, V} - R _{x}}{R _{x}} = \frac{R _{V}}{R _{x} + R _{V}} - 1 = - \frac{R _{x}}{R _{x} + R _{V}}

f_{A} = \frac{R _{mess, A} - R _{x}}{R _{x}} = \frac{R _{A}}{R _{x}}

Für $R_{x} = 1 Ω$ :

f_{V} = - \frac{1}{1 + 1 0 ^{7}} \approx - 1 \cdot 1 0^{- 7} = - 0, 00001 %

f_{A} = \frac{0 , 1}{1} = 0, 1 = \underline{+ 10 %}

Für $R_{x} = 1 M Ω = 1 0^{6} Ω$ :

f_{V} = - \frac{1 0 ^{6}}{1 0 ^{6} + 1 0 ^{7}} = - \frac{1}{11} \approx - 0, 0909 = \underline{- 9, 09 %}

f_{A} = \frac{0 , 1}{1 0 ^{6}} = 1 \cdot 1 0^{- 7} = + 0, 00001 %

Zusammenfassung:

$R_{x}$	$∣ f_{V} ∣$ (spannungsrichtig)	$∣ f_{A} ∣$ (stromrichtig)	günstigere Variante
$1 Ω$	$1 0^{- 7}$	$10 %$	spannungsrichtig
$1 M Ω$	$9, 1 %$	$1 0^{- 7}$	stromrichtig

Die beiden Methoden spiegeln sich gegenläufig: Bei kleinen $R_{x}$ ist spannungsrichtig praktisch perfekt, bei großen $R_{x}$ stromrichtig. Der umgekehrte Fall ist jeweils dramatisch schlecht.

d) Grenzwiderstand und Entscheidungsregel

Gesucht ist der Wert $R_{x, grenz}$ , bei dem die Fehlerbeträge gleich sind:

∣ f_{V} ∣ = ∣ f_{A} ∣ ⟺ \frac{R _{x}}{R _{x} + R _{V}} = \frac{R _{A}}{R _{x}}

Umformen:

R_{x}^{2} = R_{A} \cdot (R_{x} + R_{V})

Für $R_{x} ≪ R_{V}$ (im Bereich praktischer Messungen stets erfüllt) dominiert $R_{V}$ in der Klammer:

R_{x}^{2} \approx R_{A} \cdot R_{V} ⟹ \underline{R_{x, grenz} \approx R_{A} \cdot R_{V}}

Mit den gegebenen Werten:

R_{x, grenz} = 0, 1 Ω \cdot 1 0^{7} Ω = 1 0^{6} Ω^{2} = 1000 Ω = \underline{1 k Ω}

Entscheidungsregel:

Widerstandsbereich	Empfohlene Schaltung
$R_{x} < 1 k Ω$	spannungsrichtig
$R_{x} > 1 k Ω$	stromrichtig

Bei $R_{x} = R_{x, grenz} = 1 k Ω$ ergibt sich in beiden Schaltungen ein Fehler von $\approx 1 0^{- 4} = 0, 01 %$ – dort ist die Wahl gleichgültig.

Praktikumsvorbereitung

Im Praktikum 1 werden Sie genau diese Überlegung an realen Widerständen durchführen. Die Daumenregel $R_{x, grenz} \approx R_{A} \cdot R_{V}$ liefert für die im Labor verwendeten Digitalmultimeter typischerweise einen Grenzwert im Bereich $100 Ω$ bis einige $k Ω$ . Prüfen Sie vor dem Versuch die Datenblätter der tatsächlich eingesetzten Geräte und berechnen Sie die eigene Grenze – schätzen Sie dann für jede Messaufgabe vorab ab, welche Schaltung Sie wählen.

Anschauliche Merkregel

Spannungsrichtig misst, was der Verbraucher wirklich an Spannung bekommt, zieht aber mit dem Voltmeter einen Nebenschluss – das verfälscht den Strom. Stromrichtig misst, wie viel Strom wirklich durch den Verbraucher fließt, der Spannungsabfall am Amperemeter verfälscht dagegen die Spannung. Man wählt die Variante, deren Fehlerquelle man bei dem zu messenden $R_{x}$ am sichersten vernachlässigen kann.

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Übung ET2-01.06 – Spannungsrichtig oder stromrichtig messen (Lösung)

Aufgabe

Lösung

Gegeben

Gesucht

a) Skizze

b) Formeln für den gemessenen Widerstand

c) Relative Messfehler

d) Grenzwiderstand und Entscheidungsregel

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