Übung ET2-02.05 – Zeigeraddition von Teilspannungen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-02 Einführung in die Wechselstromtechnik

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Aufgabe

In einer Reihenschaltung liegen zwei sinusförmige Teilspannungen an, die um $90°$ gegeneinander phasenverschoben sind:

$$u_1(t)=100\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t),u_2(t)=75\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t+90°)$$

Eine solche Konstellation tritt in ET2 immer dann auf, wenn in einer Reihenschaltung verschiedene Bauelemente (z. B. Widerstand und Spule) am gleichen Strom liegen: Ihre Spannungen haben dieselbe Frequenz, aber unterschiedliche Phasenlagen. Die Maschenregel verlangt dann eine Zeigeraddition, keine skalare Addition.

a) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der beiden Teilspannungen ${\hat{u}}_1$ und ${\hat{u}}_2$ und ergänzen Sie den resultierenden Summenzeiger ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$ durch geometrisches Aneinanderlegen „Spitze an Schaft”.

b) Berechnen Sie die Gesamtamplitude ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$ rechnerisch aus ${\hat{u}}_1$ und ${\hat{u}}_2$.

c) Bestimmen Sie den Phasenwinkel ${\phi }_{\mathrm{ges}}$ des Summenzeigers gegenüber $u_1$.

d) Geben Sie den Effektivwert $U_{\mathrm{ges}}$ und die Zeitfunktion $u_{\mathrm{ges}}(t)$ an. Vergleichen Sie ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$ mit der (falschen) skalaren Summe ${\hat{u}}_1+{\hat{u}}_2$ und begründen Sie die Differenz.

Lösung

a) Skizze
b) ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}=125\mathrm{V}$
c) ${\phi }_{\mathrm{ges}}\approx 36,9°$
d) $U_{\mathrm{ges}}\approx 88,4\mathrm{V}$, $u_{\mathrm{ges}}(t)=125\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t+36,87°)$; skalare Summe $175\mathrm{V}$ wäre $40\%$ zu hoch

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $u_1(t)=100\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t)$, also ${\hat{u}}_1=100\mathrm{V}$, ${\phi }_1=0°$
• $u_2(t)=75\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t+90°)$, also ${\hat{u}}_2=75\mathrm{V}$, ${\phi }_2=90°$

Bekannt:

• Zeigerdarstellung (ET2-02): Jede sinusförmige Größe $\hat{u}\sin (\omega t+{\phi }_0)$ wird durch einen Zeiger der Länge $\hat{u}$ unter dem Winkel ${\phi }_0$ zur horizontalen Achse dargestellt.
• Zeigeraddition: vektoriell (Pythagoras und Arcustangens bei orthogonalen Zeigern).
• Trigonometrische Identität: $\sin (x+90°)=\cos (x)$
• Effektivwert: $U=\hat{u}/\sqrt{2}$

Gesucht

a) Zeigerdiagramm mit ${\hat{u}}_1$, ${\hat{u}}_2$ und ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$
b) Gesamtamplitude ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$
c) Phasenwinkel ${\phi }_{\mathrm{ges}}$
d) Effektivwert $U_{\mathrm{ges}}$, Zeitfunktion $u_{\mathrm{ges}}(t)$, Vergleich mit skalarer Summe

a) Zeigerdiagramm

Der Zeiger ${\hat{u}}_1$ liegt wegen ${\phi }_1=0°$ horizontal und zeigt nach rechts ($100\mathrm{V}$). Der Zeiger ${\hat{u}}_2$ steht wegen ${\phi }_2=+90°$ senkrecht und zeigt nach oben ($75\mathrm{V}$). Legt man beide „Spitze an Schaft” aneinander, ergibt sich der Summenzeiger ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$ vom Ursprung zur Spitze des verschobenen zweiten Zeigers. Seine Länge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $100\mathrm{V}$ und $75\mathrm{V}$, sein Winkel zur Horizontalen ist ${\phi }_{\mathrm{ges}}$.

b) Gesamtamplitude

Weil die beiden Zeiger senkrecht zueinander stehen, gilt der Satz des Pythagoras:

$${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}=\sqrt{{\hat{u}}_1^2+{\hat{u}}_2^2}=\sqrt{(100\mathrm{V}{)}^2+(75\mathrm{V}{)}^2}=\sqrt{10000+5625}\mathrm{V}=\sqrt{15625}\mathrm{V}=\underline{125\mathrm{V}}$$

Das „3-4-5-Dreieck” gibt hier direkt ein ganzzahliges Ergebnis – das ist ein typisches Schulbuchbeispiel. Bei beliebigen Amplituden entsteht ein allgemeiner Zahlenwert.

c) Phasenwinkel

Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt der Winkel zwischen ${\hat{u}}_{\mathrm{ges}}$ und ${\hat{u}}_1$ über den Arcustangens:

$${\phi }_{\mathrm{ges}}=\arctan \left(\frac{{\hat{u}}_2}{{\hat{u}}_1}\right)=\arctan \left(\frac{75\mathrm{V}}{100\mathrm{V}}\right)=\arctan (0,75)\approx \underline{36,87°}$$

d) Effektivwert, Zeitfunktion, Vergleich

Effektivwert:

$$U_{\mathrm{ges}}=\frac{{\hat{u}}_{\mathrm{ges}}}{\sqrt{2}}=\frac{125\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx \underline{88,4\mathrm{V}}$$

Zeitfunktion:

$$u_{\mathrm{ges}}(t)={\hat{u}}_{\mathrm{ges}}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_{\mathrm{ges}})=\underline{125\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t+36,87°)}$$

Gegenprobe über Trigonometrie (ohne Zeigerdiagramm): Mit $\sin (\omega t+90°)=\cos (\omega t)$ ergibt sich

$$u_{\mathrm{ges}}(t)=100\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t)+75\mathrm{V}\cdot \cos (\omega t)$$

Anwendung der Formel $a\sin (x)+b\cos (x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\arctan (b/a))$ liefert:

$$u_{\mathrm{ges}}(t)=\sqrt{100^2+75^2}\mathrm{V}\cdot \sin \left(\omega t+\arctan \frac{75}{100}\right)=125\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t+36,87°)✓$$

Die Zeigeraddition und die Anwendung des Additionstheorems führen zum selben Ergebnis – das Zeigerdiagramm ist also die geometrische Kurzschrift der trigonometrischen Formel.

Vergleich mit skalarer Summe:

$${\hat{u}}_1+{\hat{u}}_2=100\mathrm{V}+75\mathrm{V}=175\mathrm{V}$$ $$\frac{175\mathrm{V}-125\mathrm{V}}{125\mathrm{V}}=40,0\%$$

Die skalare Summe liegt also $40\%$ zu hoch. Der Grund: Die beiden Teilspannungen erreichen ihre Scheitelwerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Wenn $u_1$ ihren Scheitelwert hat, ist $u_2$ gerade bei null (wegen der $90°$-Verschiebung) – die beiden Scheitelwerte addieren sich nie wirklich. Nur wenn die Phasenverschiebung $\phi =0°$ wäre, ergäbe sich die maximale Amplitude ${\hat{u}}_1+{\hat{u}}_2$; bei $\phi =180°$ (gegenphasig) wäre die Summe $|{\hat{u}}_1-{\hat{u}}_2|=25\mathrm{V}$. Alles dazwischen liefert die Zeigeraddition.

Merkregel

Die Amplituden phasenverschobener Sinusgrößen nie einfach skalar addieren. Immer Zeigerbild zeichnen (oder in komplexer Schreibweise rechnen). Nur bei $\phi =0°$ funktioniert die skalare Addition.

Brücke zu ET2

Dieselbe Rechnung taucht in ET2-04 an einer realen Spule auf: Dort ist $u_R(t)=R\cdot i(t)$ (in Phase mit dem Strom) und $u_L(t)=L\cdot \mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ (um $+90°$ vorauseilend). Die Klemmenspannung $u_{\mathrm{ges}}(t)$ ergibt sich aus beiden genau über die hier geübte Zeigeraddition. In ET2-03 wird dieselbe Operation als Addition komplexer Zahlen ${\underline{U}}_{\mathrm{ges}}={\underline{U}}_1+{\underline{U}}_2$ geschrieben – rechnerisch äquivalent, aber algebraisch schneller.