Übung ET2-03.04 – Knotenpunktregel mit komplexen Strömen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Die Kirchhoffsche Knotenpunktregel aus ET1-06 gilt unverändert auch in der komplexen Wechselstromrechnung — mit dem entscheidenden Unterschied, dass die Beträge der Ströme nicht einfach algebraisch addiert werden dürfen. Stattdessen werden die komplexen Effektivwerte komponentenweise (kartesisch) addiert, weil die Phasenlagen der einzelnen Ströme zueinander berücksichtigt werden müssen.

An einem Knoten eines Wechselstromnetzwerks treffen vier Ströme zusammen. Die ersten drei sind in Polarform gegeben:

$${\underline{I}}_1=6,00\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 30°},{\underline{I}}_2=4,00\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 120°},{\underline{I}}_3=5,00\mathrm{A}\cdot e^{-j\cdot 45°}$$

${\underline{I}}_1$ und ${\underline{I}}_2$ fließen zum Knoten hin, ${\underline{I}}_3$ und der gesuchte Strom ${\underline{I}}_4$ fließen vom Knoten weg.

a) Stellen Sie die Knotenpunktregel in komplexer Form für diesen Knoten auf und lösen Sie nach ${\underline{I}}_4$ auf.

b) Rechnen Sie ${\underline{I}}_1$, ${\underline{I}}_2$ und ${\underline{I}}_3$ in die kartesische Form um.

c) Berechnen Sie ${\underline{I}}_4$ in kartesischer Form.

d) Geben Sie ${\underline{I}}_4$ in Polarform an. Achten Sie auf die korrekte Quadrantenzuordnung.

Lösung

a) ${\underline{I}}_4={\underline{I}}_1+{\underline{I}}_2-{\underline{I}}_3$
b) ${\underline{I}}_1=5,20\mathrm{A}+j\cdot 3,00\mathrm{A}$; ${\underline{I}}_2=-2,00\mathrm{A}+j\cdot 3,46\mathrm{A}$; ${\underline{I}}_3=3,54\mathrm{A}-j\cdot 3,54\mathrm{A}$
c) ${\underline{I}}_4=-0,340\mathrm{A}+j\cdot 10,0\mathrm{A}$
d) ${\underline{I}}_4=10,0\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 91,9°}$ (2. Quadrant)

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• ${\underline{I}}_1=6,00\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 30°}$ (zufließend)
• ${\underline{I}}_2=4,00\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 120°}$ (zufließend)
• ${\underline{I}}_3=5,00\mathrm{A}\cdot e^{-j\cdot 45°}$ (abfließend)
• ${\underline{I}}_4$ gesucht (abfließend)

Bekannt:

• Knotenpunktregel in komplexer Form (ET2-03): Summe aller komplexen Ströme an einem Knoten ist null
• Vorzeichenkonvention: zufließende Ströme positiv, abfließende negativ
• Polarform $\to$ kartesisch (ET2-03): $a=r\cos \phi$, $b=r\sin \phi$
• Quadrantenkorrektur (ET2-03): bei $a<0$, $b>0$ gilt $\phi =\arctan (b/a)+180°$

Gesucht

a) Knotengleichung, aufgelöst nach ${\underline{I}}_4$
b) ${\underline{I}}_1$, ${\underline{I}}_2$, ${\underline{I}}_3$ in kartesischer Form
c) ${\underline{I}}_4$ in kartesischer Form
d) ${\underline{I}}_4$ in Polarform

a) Knotenpunktregel in komplexer Form

Mit der Vorzeichenkonvention “zufließend $+$, abfließend $-$” lautet die Knotenpunktregel:

$${\underline{I}}_1+{\underline{I}}_2-{\underline{I}}_3-{\underline{I}}_4=0$$

Aufgelöst nach ${\underline{I}}_4$:

$${\underline{I}}_4={\underline{I}}_1+{\underline{I}}_2-{\underline{I}}_3$$

b) Umrechnung in kartesische Form

$${\underline{I}}_1=6,00\cdot \cos 30°+j\cdot 6,00\cdot \sin 30°=6,00\cdot 0,866+j\cdot 6,00\cdot 0,500$$ $${\underline{I}}_1=\underline{5,196\mathrm{A}+j\cdot 3,000\mathrm{A}}$$ $${\underline{I}}_2=4,00\cdot \cos 120°+j\cdot 4,00\cdot \sin 120°=4,00\cdot (-0,500)+j\cdot 4,00\cdot 0,866$$ $${\underline{I}}_2=\underline{-2,000\mathrm{A}+j\cdot 3,464\mathrm{A}}$$ $${\underline{I}}_3=5,00\cdot \cos (-45°)+j\cdot 5,00\cdot \sin (-45°)=5,00\cdot 0,7071+j\cdot 5,00\cdot (-0,7071)$$ $${\underline{I}}_3=\underline{3,536\mathrm{A}-j\cdot 3,536\mathrm{A}}$$

(Zwischenwerte mit 4 signifikanten Stellen, um Rundungsfehler in c) gering zu halten.)

c) Berechnung von ${\underline{I}}_4$ in kartesischer Form

Realteil:

$$\mathrm{Re}\{{\underline{I}}_4\}=\mathrm{Re}\{{\underline{I}}_1\}+\mathrm{Re}\{{\underline{I}}_2\}-\mathrm{Re}\{{\underline{I}}_3\}$$ $$=5,196\mathrm{A}+(-2,000\mathrm{A})-3,536\mathrm{A}=-0,340\mathrm{A}$$

Imaginärteil:

$$\mathrm{Im}\{{\underline{I}}_4\}=\mathrm{Im}\{{\underline{I}}_1\}+\mathrm{Im}\{{\underline{I}}_2\}-\mathrm{Im}\{{\underline{I}}_3\}$$ $$=3,000\mathrm{A}+3,464\mathrm{A}-(-3,536\mathrm{A})=10,000\mathrm{A}$$ $${\underline{I}}_4=\underline{-0,340\mathrm{A}+j\cdot 10,0\mathrm{A}}$$

d) Umrechnung in Polarform

Betrag:

$$|{\underline{I}}_4|=\sqrt{(-0,340{)}^2+10,000^2}\mathrm{A}=\sqrt{0,116+100,000}\mathrm{A}=\sqrt{100,116}\mathrm{A}=10,006\mathrm{A}$$

Auf 3 signifikante Stellen:

$$|{\underline{I}}_4|=\underline{10,0\mathrm{A}}$$

Phasenwinkel (mit Quadrantenkorrektur, weil $a<0$ und $b>0$ — 2. Quadrant):

Der Taschenrechner liefert zunächst:

$$\arctan \left(\frac{10,000}{-0,340}\right)=\arctan (-29,41)=-88,05°$$

Dieser Wert liegt im 4. Quadranten — für den 2. Quadranten muss $+180°$ addiert werden:

$${\phi }_4=-88,05°+180°=91,95°\approx \underline{91,9°}$$ $${\underline{I}}_4=\underline{10,0\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 91,9°}}$$

Der Strom ${\underline{I}}_4$ fließt also mit einem Effektivwert von $10,0\mathrm{A}$ und einer Phasenlage knapp oberhalb von $+90°$ aus dem Knoten. Dass der Realteil betragsmäßig sehr klein ist ($-0,34\mathrm{A}$ gegenüber $+10\mathrm{A}$ Imaginärteil), erklärt, warum ${\underline{I}}_4$ fast exakt entlang der positiven imaginären Achse zeigt.

Beträge nicht skalar addieren

Die naive Rechnung $|{\underline{I}}_4|\stackrel{?}{=}{I}_1+I_2-I_3=6\mathrm{A}+4\mathrm{A}-5\mathrm{A}=5\mathrm{A}$ ist falsch — das Ergebnis ist mit $|{\underline{I}}_4|=10\mathrm{A}$ doppelt so groß. Genauso wäre $|{\underline{I}}_4|\stackrel{?}{=}{I}_1+I_2+I_3=15\mathrm{A}$ falsch. Nur die komponentenweise Addition der komplexen Ströme liefert das korrekte Ergebnis, weil sie die Phasenlagen mit berücksichtigt.

Plausibilität über das Zeigerdiagramm

Skizziert man die drei Eingangs- und einen ausgehenden Stromzeiger in der komplexen Ebene maßstäblich, ergibt sich der gesuchte Zeiger als Summenpfeil. ${\underline{I}}_4\approx j\cdot 10\mathrm{A}$ bedeutet: Er steht praktisch senkrecht auf der reellen Achse — im Zeigerbild zeigt er fast genau “nach oben”. Diese qualitative Kontrolle deckt grobe Rechenfehler zuverlässig auf.

Im Kontext von ET2

Die hier geübte Knotenrechnung ist die Grundlage für das Knotenpotentialverfahren in komplexer Form, das in ET2-05 eingeführt wird. Statt einzelner Ströme arbeiten wir dort mit Knotenspannungen ${\underline{V}}_k$ und Admittanzen ${\underline{Y}}_k=1/{\underline{Z}}_k$ — die Struktur “Summe aller komplexen Ströme = 0” bleibt aber unverändert. Wer hier sicher Ströme addiert, beherrscht die mechanische Seite des Verfahrens bereits vollständig.

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