Übung ET2-01.02 – Leistungsbilanz an einer realen Spannungsquelle (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-01 Einführung und Rückblick auf ET1

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Aufgabe

Eine reale Gleichspannungsquelle besitzt die Leerlaufspannung $U_0=12,0\mathrm{V}$ und einen Innenwiderstand $R_i=2,0\Omega$ (vgl. ET1-03). An ihre Klemmen wird ein Lastwiderstand $R_L$ angeschlossen.

a) Berechnen Sie für $R_L=10,0\Omega$ die Klemmenspannung $U_k$, den Laststrom $I$ sowie die Wirkleistungen im Innenwiderstand $P_i$, an der Last $P_L$ und die Gesamtleistung $P_{\mathrm{ges}}$ der Quelle.

b) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad $\eta =P_L/P_{\mathrm{ges}}$ für den Fall aus Teilaufgabe a).

c) Bei welchem Lastwiderstand $R_L$ wird die an die Last abgegebene Leistung $P_L$ maximal? (Leistungsanpassung) Berechnen Sie den zugehörigen Maximalwert $P_{L,\max }$.

d) Wie groß ist der Wirkungsgrad $\eta$ im Anpassungsfall? Begründen Sie, warum man in der Energietechnik trotz maximaler Leistung nicht im Anpassungsfall arbeitet.

Lösung

a) $U_k=10,0\mathrm{V}$, $I=1,0\mathrm{A}$, $P_i=2,0\mathrm{W}$, $P_L=10,0\mathrm{W}$, $P_{\mathrm{ges}}=12,0\mathrm{W}$
b) $\eta \approx 83,3\%$
c) $R_{L,\mathrm{opt}}=R_i=2,0\Omega$, $P_{L,\max }=18,0\mathrm{W}$
d) $\eta =50\%$; in der Energietechnik werden die Verluste zu groß, daher arbeitet man mit $R_L\gg R_i$ (Wirkungsgrad nahe 1)

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Leerlaufspannung: $U_0=12,0\mathrm{V}$
• Innenwiderstand: $R_i=2,0\Omega$
• Lastwiderstand (Teil a, b): $R_L=10,0\Omega$

Bekannt:

• Reale Quelle als Reihenschaltung $U_0$–$R_i$–$R_L$ (ET1-03)
• Ohmsches Gesetz: $I=U_0/(R_i+R_L)$
• Spannungsteiler: $U_k=U_0\cdot R_L/(R_i+R_L)$
• Leistung an einem Widerstand: $P=R\cdot I^2=U^2/R$
• Wirkungsgrad: $\eta =P_L/P_{\mathrm{ges}}$
• Bedingung für Leistungsanpassung: $R_L=R_i$

Gesucht

a) $U_k$, $I$, $P_i$, $P_L$, $P_{\mathrm{ges}}$
b) $\eta$ bei $R_L=10\Omega$
c) $R_{L,\mathrm{opt}}$ und $P_{L,\max }$
d) $\eta$ bei Anpassung, Begründung

a) Strom, Klemmenspannung und Leistungen

Laststrom aus dem Ohmschen Gesetz über die Gesamtschaltung:

$$I=\frac{U_0}{R_i+R_L}=\frac{12,0\mathrm{V}}{2,0\Omega +10,0\Omega }=\frac{12,0}{12,0}\mathrm{A}=\underline{1,0\mathrm{A}}$$

Klemmenspannung (Spannung über der Last):

$$U_k=U_0\cdot \frac{R_L}{R_i+R_L}=12,0\mathrm{V}\cdot \frac{10,0}{12,0}=\underline{10,0\mathrm{V}}$$

Verlustleistung im Innenwiderstand:

$$P_i=R_i\cdot I^2=2,0\Omega \cdot (1,0\mathrm{A}{)}^2=\underline{2,0\mathrm{W}}$$

Lastleistung:

$$P_L=R_L\cdot I^2=10,0\Omega \cdot (1,0\mathrm{A}{)}^2=\underline{10,0\mathrm{W}}$$

Gesamtleistung der Quelle:

$$P_{\mathrm{ges}}=U_0\cdot I=12,0\mathrm{V}\cdot 1,0\mathrm{A}=\underline{12,0\mathrm{W}}$$

Probe der Leistungsbilanz:

$$P_i+P_L=2,0\mathrm{W}+10,0\mathrm{W}=12,0\mathrm{W}=P_{\mathrm{ges}}✓$$

b) Wirkungsgrad bei $R_L=10\Omega$

$$\eta =\frac{P_L}{P_{\mathrm{ges}}}=\frac{10,0\mathrm{W}}{12,0\mathrm{W}}\approx 0,833=\underline{83,3\%}$$

Rund ein Sechstel der Gesamtleistung wird im Innenwiderstand in Wärme umgesetzt, fünf Sechstel gelangen an die Last.

c) Leistungsanpassung

Die Lastleistung in Abhängigkeit von $R_L$ lautet:

$$P_L(R_L)=R_L\cdot I^2=R_L\cdot {\left(\frac{U_0}{R_i+R_L}\right)}^2=\frac{U_0^2\cdot R_L}{(R_i+R_L{)}^2}$$

Zur Bestimmung des Maximums bildet man die Ableitung nach $R_L$. Mit der Quotientenregel ($U_0^2$ ist konstant):

$$\frac{\mathrm{d}{P}_L}{\mathrm{d}{R}_L}=U_0^2\cdot \frac{(R_i+R_L{)}^2-R_L\cdot 2(R_i+R_L)}{(R_i+R_L{)}^4}$$

Ein Faktor $(R_i+R_L)$ kürzt sich:

$$\frac{\mathrm{d}{P}_L}{\mathrm{d}{R}_L}=U_0^2\cdot \frac{(R_i+R_L)-2R_L}{(R_i+R_L{)}^3}=U_0^2\cdot \frac{R_i-R_L}{(R_i+R_L{)}^3}$$

Die Ableitung wird null, wenn der Zähler null wird:

$$R_i-R_L=0\Rightarrow \underline{R_{L,\mathrm{opt}}=R_i=2,0\Omega }$$

Für $R_L<R_i$ ist die Ableitung positiv (Leistung steigt), für $R_L>R_i$ negativ (Leistung fällt) – das bestätigt ein Maximum bei $R_L=R_i$.

Eingesetzt:

$$P_{L,\max }=\frac{U_0^2\cdot R_i}{(2R_i{)}^2}=\frac{U_0^2}{4R_i}=\frac{(12,0\mathrm{V}{)}^2}{4\cdot 2,0\Omega }=\frac{144}{8}\mathrm{W}=\underline{18,0\mathrm{W}}$$

d) Wirkungsgrad bei Anpassung

Bei $R_L=R_i$ teilt sich die Gesamtleistung zu gleichen Teilen auf Innenwiderstand und Last auf:

$$\eta =\frac{P_L}{P_{\mathrm{ges}}}=\frac{R_L}{R_i+R_L}=\frac{R_i}{2R_i}=\underline{50\%}$$

Begründung: In der Energietechnik ist ein Wirkungsgrad von 50 % inakzeptabel – die Hälfte der eingespeisten Energie würde als Verlustwärme im Innenwiderstand (bzw. in der Zuleitung) verloren gehen. Man arbeitet dort bewusst mit $R_L\gg R_i$: Das liefert eine kleinere, aber nutzbare Lastleistung bei einem Wirkungsgrad nahe 1. Leistungsanpassung ist dagegen typisch in der Signaltechnik, wo es nicht auf den Wirkungsgrad, sondern auf maximale Signalübertragung ankommt (z. B. Antennenanpassung).

Roter Faden zu ET2

In der Wechselstromtechnik wird die Leistungsbetrachtung deutlich reichhaltiger: Neben der Wirkleistung treten Blindleistung und Scheinleistung auf. Die Anpassungsbedingung lautet dann – in komplexer Schreibweise – ${\underline{Z}}_L={\underline{Z}}_i^{\ast }$ (konjugiert-komplexe Anpassung). Das Grundprinzip bleibt aber dasselbe, nur dass Beträge und Phasen separat abgestimmt werden müssen.