Übung ET2-01.03 – Plattenkondensator und Dielektrikum (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-01 Einführung und Rückblick auf ET1

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Aufgabe

Ein idealer Plattenkondensator hat die Plattenfläche $A=100{\mathrm{cm}}^2$ und den Plattenabstand $d=2,0\mathrm{mm}$. Zwischen den Platten liegt die Gleichspannung $U=230\mathrm{V}$.

a) Skizzieren Sie den Plattenkondensator im Querschnitt mit den Feldlinien des elektrischen Feldes.

b) Berechnen Sie für den Fall Luft zwischen den Platten (${\epsilon }_r=1$) die elektrische Feldstärke $E$, die Kapazität $C_0$ und die gespeicherte Ladung $Q_0$.

c) Zwischen die Platten wird nun eine Glasscheibe (${\epsilon }_r=7$) gelegt, die den Plattenraum vollständig ausfüllt. Welche Kapazität $C_r$ und welche Ladung $Q_r$ ergeben sich bei unveränderter Spannung $U=230\mathrm{V}$?

d) Welche Kraft $F$ wirkt im Vakuumfall aus Teilaufgabe b) auf ein einzelnes Elektron, das sich zwischen den Platten befindet? (Elementarladung $e=1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{C}$)

Lösung

a) Skizze
b) $E=1,15\cdot 10^{5}V/m$, $C_0\approx 44,3\mathrm{pF}$, $Q_0\approx 10,2\mathrm{nC}$
c) $C_r\approx 310\mathrm{pF}$, $Q_r\approx 71,3\mathrm{nC}$
d) $F\approx 1,84\cdot 10^{-14}\mathrm{N}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Plattenfläche: $A=100{\mathrm{cm}}^2=1,00\cdot 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$
• Plattenabstand: $d=2,0\mathrm{mm}=2,0\cdot 10^{-3}\mathrm{m}$
• Spannung: $U=230\mathrm{V}$
• Relative Permittivität Luft: ${\epsilon }_{r,1}=1$
• Relative Permittivität Glas: ${\epsilon }_{r,2}=7$
• Elementarladung: $e=1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{C}$
• Elektrische Feldkonstante: ${\epsilon }_0=8,854\cdot 10^{-12}F/m$

Bekannt:

• Feldstärke im Plattenkondensator (homogenes Feld): $E=U/d$
• Kapazität des Plattenkondensators (ET1-08): $C={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r\cdot A/d$
• Ladung auf den Platten: $Q=C\cdot U$
• Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld: $F=q\cdot E$

Gesucht

a) Skizze mit Feldlinien
b) $E$ in $V/m$, $C_0$ in $\mathrm{F}$, $Q_0$ in $\mathrm{C}$
c) $C_r$ in $\mathrm{F}$, $Q_r$ in $\mathrm{C}$
d) Kraft $F$ auf ein Elektron in $\mathrm{N}$

a) Skizze

Das Feld zwischen den Platten ist nahezu homogen – die Feldlinien verlaufen parallel und senkrecht zu den Platten, von der positiven zur negativen Platte. Nur an den Rändern bilden sich Streufelder aus, die im idealisierten Modell vernachlässigt werden.

b) Feldstärke, Kapazität und Ladung (Luft)

Feldstärke:

$$E=\frac{U}{d}=\frac{230\mathrm{V}}{2,0\cdot 10^{-3}\mathrm{m}}=1,15\cdot 10^{5}V/m=\underline{115kV/m}$$

Kapazität:

$$C_0={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_{r,1}\cdot \frac{A}{d}=8,854\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\cdot 1\cdot \frac{1,00\cdot 10^{-2}{\mathrm{m}}^2}{2,0\cdot 10^{-3}\mathrm{m}}$$ $$C_0=8,854\cdot 10^{-12}\cdot 5,00\mathrm{F}=4,43\cdot 10^{-11}\mathrm{F}=\underline{44,3\mathrm{pF}}$$

Gespeicherte Ladung:

$$Q_0=C_0\cdot U=4,43\cdot 10^{-11}\mathrm{F}\cdot 230\mathrm{V}\approx 1,02\cdot 10^{-8}\mathrm{C}=\underline{10,2\mathrm{nC}}$$

c) Kapazität und Ladung mit Dielektrikum

Beim Einbringen eines Dielektrikums mit ${\epsilon }_{r,2}=7$ steigt die Kapazität proportional:

$$C_r={\epsilon }_{r,2}\cdot C_0=7\cdot 44,3\mathrm{pF}=\underline{310\mathrm{pF}}$$

Bei unveränderter Spannung steigt auch die gespeicherte Ladung um den Faktor ${\epsilon }_{r,2}$:

$$Q_r=C_r\cdot U=310\cdot 10^{-12}\mathrm{F}\cdot 230\mathrm{V}\approx 7,13\cdot 10^{-8}\mathrm{C}=\underline{71,3\mathrm{nC}}$$

Warum wird die Ladung größer?

Die Feldstärke $E=U/d$ bleibt bei konstanter Spannung und konstantem Plattenabstand unverändert. Das Dielektrikum polarisiert sich aber im Feld: Die gebundenen Ladungen im Glas richten sich so aus, dass an den Plattenoberflächen gegensätzliche Polarisationsladungen entstehen. Um die Feldstärke dennoch konstant zu halten, muss die Spannungsquelle zusätzliche freie Ladung auf die Platten nachliefern – und genau das erhöht $Q$. Das ist der häufigste Fehlschluss bei Kondensatoren mit Dielektrikum: nicht das $E$-Feld wird “stärker”, sondern die gespeicherte Ladung bei gleichem Feld.

d) Kraft auf ein Elektron

$$F=e\cdot E=1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{C}\cdot 1,15\cdot 10^{5}V/m\approx \underline{1,84\cdot 10^{-14}\mathrm{N}}$$

Im Alltagsmaßstab winzig – im Verhältnis zur Elektronenmasse ($m_e=9,11\cdot 10^{-31}\mathrm{kg}$) aber groß genug, um Elektronen in Kathodenstrahlröhren und Teilchenbeschleunigern stark zu beschleunigen.

Brücke zu ET2

In der Wechselstromtechnik wird der Kondensator zu einem frequenzabhängigen Bauelement: Sein Blindwiderstand $X_C=1/(\omega C)$ sinkt mit wachsender Frequenz. Eine Kapazität von $310\mathrm{pF}$ hätte bei der Netzfrequenz $f=50\mathrm{Hz}$ einen Blindwiderstand von über $10\mathrm{M\Omega }$ – also praktisch einen offenen Schalter. Bei $1\mathrm{MHz}$ wären es dagegen nur noch ca. $510\Omega$. Dieses Frequenzverhalten werden wir in ET2-04 systematisch herleiten.