Übung ET2-02.03 – Scheitel- und Formfaktor verschiedener Kurvenformen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-02 Einführung in die Wechselstromtechnik

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Aufgabe

Der Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße ist mit der Amplitude über $U=\hat{u}/\sqrt{2}$ verknüpft. Für andere Kurvenformen – etwa Rechteck- oder Dreiecksschwingungen aus einem Funktionsgenerator – gilt dieser Zusammenhang nicht. Wer die Sinus-Formel blind anwendet, erhält falsche Werte.

Betrachtet werden drei symmetrische Signalformen mit derselben Amplitude $\hat{u}$:

• Sinus: $u_1(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)$
• Rechteck: $u_2(t)=+\hat{u}$ während der ersten Halbperiode, $-\hat{u}$ während der zweiten
• Dreieck: $u_3(t)$ steigt linear von $-\hat{u}$ auf $+\hat{u}$ und fällt wieder zurück (symmetrisch)

a) Geben Sie für alle drei Kurvenformen den Effektivwert $U$ und den Gleichrichtwert $\overline{|u|}$ in Abhängigkeit von $\hat{u}$ an. Hinweis: Die Herleitungen für Rechteck und Dreieck sind wegen der Linearität der Signalabschnitte elementar.

b) Berechnen Sie daraus für jede Kurvenform den Scheitelfaktor $k_S$ und den Formfaktor $k_F$. Ordnen Sie die Ergebnisse tabellarisch.

c) Ein einfaches Drehspulmessgerät mit vorgeschaltetem Gleichrichter misst physikalisch den Gleichrichtwert $\overline{|u|}$, ist aber für Sinusgrößen geeicht – es zeigt also $U_{\mathrm{Anzeige}}=k_F^{\mathrm{Sinus}}\cdot \overline{|u|}=1,111\cdot \overline{|u|}$. Ein solches Gerät wird an eine rechteckförmige Wechselspannung mit $\hat{u}=10\mathrm{V}$ angelegt. Welchen Wert zeigt das Instrument an? Welches ist der wahre Effektivwert?

d) Berechnen Sie den relativen Messfehler der Anzeige aus c) in Prozent. Begründen Sie, warum ein Drehspulmessgerät mit Gleichrichter bei nicht-sinusförmigen Signalen systematisch falsche Werte liefert.

Lösung

a) Sinus: $U=\hat{u}/\sqrt{2}$, $\overline{|u|}=2\hat{u}/\pi$; Rechteck: $U=\hat{u}$, $\overline{|u|}=\hat{u}$; Dreieck: $U=\hat{u}/\sqrt{3}$, $\overline{|u|}=\hat{u}/2$
b) Sinus: $k_S\approx 1,414$, $k_F\approx 1,111$; Rechteck: $k_S=1$, $k_F=1$; Dreieck: $k_S\approx 1,732$, $k_F\approx 1,155$
c) Anzeige: $11,1\mathrm{V}$; wahrer Effektivwert: $10,0\mathrm{V}$
d) Relativer Fehler: $+11,1\%$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Drei Signalformen mit gleicher Amplitude $\hat{u}$: Sinus, Rechteck (symmetrisch), Dreieck (symmetrisch)
• Messwert im Aufgabenteil c): $\hat{u}=10\mathrm{V}$ (Rechteck)

Bekannt:

• Effektivwert (allgemein, ET2-02): $U=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)\mathrm{d}t}$
• Gleichrichtwert (ET2-02): $\overline{|u|}=\frac{1}{T}{\int }_0^T|u(t)|\mathrm{d}t$
• Scheitelfaktor: $k_S=\hat{u}/U$
• Formfaktor: $k_F=U/\overline{|u|}$
• Sinus-Kennwerte: $U_{\mathrm{Sin}}=\hat{u}/\sqrt{2}$, ${\overline{|u|}}_{\mathrm{Sin}}=2\hat{u}/\pi$

Gesucht

a) $U$ und $\overline{|u|}$ für Sinus, Rechteck, Dreieck
b) Scheitel- und Formfaktor je Kurvenform (Tabelle)
c) Anzeige bei Rechteck-Messung und wahrer Effektivwert
d) Relativer Messfehler und Begründung

a) Effektivwert und Gleichrichtwert

Sinus (aus der Lektion bekannt):

$$U_{\mathrm{Sin}}=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}},{\overline{|u|}}_{\mathrm{Sin}}=\frac{2\hat{u}}{\pi }$$

Rechteck: Der Betrag $|u(t)|$ ist zu jedem Zeitpunkt gleich $\hat{u}$, ebenso das Quadrat $u^2(t)={\hat{u}}^2$. Die Mittelwerte sind damit trivial:

$$U_{\mathrm{Rect}}=\sqrt{\overline{u^2}}=\sqrt{{\hat{u}}^2}=\hat{u},{\overline{|u|}}_{\mathrm{Rect}}=\hat{u}$$

Dreieck: Nutzen wir die Symmetrie: Es genügt, über ein Viertel der Periode zu integrieren. Für $0\le t\le T/4$ gilt $u(t)=\hat{u}\cdot (4t/T)$. Dann

$$\overline{u^2}=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/4}{\hat{u}}^2\cdot \frac{16t^2}{T^2}\mathrm{d}t=\frac{64{\hat{u}}^2}{T^3}\cdot \frac{(T/4{)}^3}{3}=\frac{{\hat{u}}^2}{3}$$ $$U_{\mathrm{Tri}}=\sqrt{\overline{u^2}}=\frac{\hat{u}}{\sqrt{3}}$$

Für den Gleichrichtwert:

$${\overline{|u|}}_{\mathrm{Tri}}=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/4}\hat{u}\cdot \frac{4t}{T}\mathrm{d}t=\frac{16\hat{u}}{T^2}\cdot \frac{(T/4{)}^2}{2}=\frac{\hat{u}}{2}$$

b) Scheitel- und Formfaktor

Mit $k_S=\hat{u}/U$ und $k_F=U/\overline{|u|}$ ergibt sich:

Kurvenform	$U$	$\overline{|u|}$	$k_S=\hat{u}/U$	$k_F=U/\overline{|u|}$
Sinus	$\hat{u}/\sqrt{2}$	$2\hat{u}/\pi$	$\sqrt{2}\approx \underline{1,414}$	$\pi /(2\sqrt{2})\approx \underline{1,111}$
Rechteck	$\hat{u}$	$\hat{u}$	$\underline{1,000}$	$\underline{1,000}$
Dreieck	$\hat{u}/\sqrt{3}$	$\hat{u}/2$	$\sqrt{3}\approx \underline{1,732}$	$2/\sqrt{3}\approx \underline{1,155}$

Beobachtungen:

• Rechteck hat die kleinstmöglichen Faktoren ($k_S=k_F=1$), weil das Signal zu jeder Zeit seinen Extremwert hält.
• Dreieck hat den größten Scheitelfaktor der drei: Das Signal verbringt viel Zeit mit kleinen Absolutwerten, der Effektivwert ist daher deutlich kleiner als die Amplitude.
• Beim Sinus liegt beides dazwischen.

c) Drehspulmessgerät am Rechtecksignal

Das Gerät misst physikalisch den Gleichrichtwert. Für das Rechtecksignal mit $\hat{u}=10\mathrm{V}$:

$$\overline{|u|}=\hat{u}=10\mathrm{V}$$

Die Skala rechnet diesen Wert intern mit dem Sinus-Formfaktor $k_F^{\mathrm{Sin}}\approx 1,111$ in einen „Effektivwert” um:

$$U_{\mathrm{Anzeige}}=1,111\cdot 10\mathrm{V}=\underline{11,1\mathrm{V}}$$

Der wahre Effektivwert des Rechtecksignals ist aber

$$U_{\mathrm{wahr}}=\hat{u}=\underline{10,0\mathrm{V}}$$

d) Relativer Messfehler

$$f_{\mathrm{rel}}=\frac{U_{\mathrm{Anzeige}}-U_{\mathrm{wahr}}}{U_{\mathrm{wahr}}}=\frac{11,1\mathrm{V}-10,0\mathrm{V}}{10,0\mathrm{V}}=\underline{+11,1\%}$$

Die Anzeige ist also etwa 11 % zu hoch.

Begründung des systematischen Fehlers: Das Drehspulinstrument mit Gleichrichter misst den Gleichrichtwert $\overline{|u|}$ unabhängig von der Kurvenform korrekt. Die Umrechnung auf den Effektivwert erfolgt aber über einen fest eingebauten Faktor von $1,111$, der nur für Sinus gilt. Beim Rechteck wäre der korrekte Formfaktor $k_F^{\mathrm{Rect}}=1,000$ – das Gerät multipliziert also unnötig mit einem Faktor, der hier nichts zu suchen hat. Analog würde es beim Dreieck einen Fehler in die andere Richtung machen ($k_F^{\mathrm{Tri}}\approx 1,155$ wäre korrekt, das Gerät nimmt $1,111$ an – Anzeige rund $4\%$ zu niedrig).

Merkregel

Der Formfaktor $k_F$ ist nicht universell. Wenn die Signalform des Messobjekts von einer reinen Sinusschwingung abweicht (Netzstörungen, getaktete Verbraucher, Funktionsgenerator), liefert ein Drehspul-Gleichrichter-Instrument systematisch falsche Werte. Für solche Messungen braucht es einen echten Effektivwertmesser (true RMS), der das Signal quadriert, mittelt und die Wurzel zieht – unabhängig von der Kurvenform.

Brücke zu ET2

In ET2 arbeiten wir fast ausschließlich mit rein sinusförmigen Größen – damit dürfen wir $U=\hat{u}/\sqrt{2}$ und $P=U\cdot I\cdot \cos \phi$ ohne Kurvenform-Korrektur verwenden. In der realen Praxis, z. B. bei Oberschwingungen an Gleichrichtern und Frequenzumrichtern (Stichwort Power Quality), spielen die hier gezeigten Unterschiede jedoch eine große Rolle – sie führen zu zusätzlichen Verlusten, Erwärmung von Transformatoren und Messfehlern in der Verbrauchsabrechnung.