Übung ET2-02.04 – Phasenverschiebung aus Zeitfunktionen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-19)

Bezug zu ET2-02 Einführung in die Wechselstromtechnik

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Aufgabe

In einem Wechselstromkreis werden Spannung und Strom durch die folgenden Zeitfunktionen beschrieben:

$$u(t)=325\mathrm{V}\cdot \sin \left(314,16\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot t+30°\right)$$ $$i(t)=5,00\mathrm{A}\cdot \sin \left(314,16\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\cdot t-15°\right)$$

a) Bestimmen Sie Frequenz $f$ und Periodendauer $T$ der beiden Größen.

b) Geben Sie die Phasenverschiebung $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$ zwischen Spannung und Strom an. Eilt die Spannung dem Strom voraus oder umgekehrt?

c) Berechnen Sie die zeitliche Verschiebung $\Delta t$ zwischen den Nulldurchgängen von $u(t)$ und $i(t)$ in Millisekunden.

d) Geben Sie die Effektivwerte $U$ und $I$ an.

Lösung

a) $f=50,0\mathrm{Hz}$, $T=20,0\mathrm{ms}$
b) $\phi =+45°$, Spannung eilt dem Strom voraus
c) $\Delta t=2,50\mathrm{ms}$
d) $U\approx 230\mathrm{V}$, $I\approx 3,54\mathrm{A}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannung: $\hat{u}=325\mathrm{V}$, ${\phi }_u=+30°$
• Strom: $\hat{ı}=5,00\mathrm{A}$, ${\phi }_i=-15°$
• Kreisfrequenz: $\omega =314,16rad/s$

Bekannt:

• Kreisfrequenz (ET2-02): $\omega =2\pi f$, also $f=\omega /(2\pi )$
• Periodendauer: $T=1/f$
• Phasenverschiebung (ET2-02): $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$
• Zusammenhang zwischen Winkel und Zeit: eine volle Periode $T$ entspricht $360°$, also $\Delta t=\frac{\phi }{360°}\cdot T$
• Effektivwert: $U=\hat{u}/\sqrt{2}$, $I=\hat{ı}/\sqrt{2}$

Gesucht

a) Frequenz $f$ und Periodendauer $T$
b) Phasenverschiebung $\phi$, Vorzeichen-Interpretation
c) Zeitliche Verschiebung $\Delta t$
d) Effektivwerte $U$ und $I$

a) Frequenz und Periodendauer

$$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{314,16rad/s}{2\pi }=\underline{50,0\mathrm{Hz}}$$ $$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50,0\mathrm{Hz}}=\underline{20,0\mathrm{ms}}$$

Die Kreisfrequenz $\omega =314,16rad/s$ entspricht der deutschen Netzfrequenz von $50\mathrm{Hz}$.

b) Phasenverschiebung

$$\phi ={\phi }_u-{\phi }_i=30°-(-15°)=\underline{+45°}$$

Das positive Vorzeichen bedeutet: Die Spannung eilt dem Strom voraus – $u(t)$ erreicht jeden ihrer Nulldurchgänge (und jedes ihrer Maxima) zeitlich früher als der zugehörige Punkt von $i(t)$. Eine Phasenverschiebung dieser Art ist charakteristisch für einen Stromkreis, in dem eine Induktivität das Verhalten dominiert (induktive Last).

c) Zeitliche Verschiebung

Die volle Periode $T=20,0\mathrm{ms}$ entspricht einem Winkel von $360°$. Für die Umrechnung von Winkel auf Zeit gilt:

$$\Delta t=\frac{\phi }{360°}\cdot T=\frac{45°}{360°}\cdot 20,0\mathrm{ms}=\frac{1}{8}\cdot 20,0\mathrm{ms}=\underline{2,50\mathrm{ms}}$$

Der Strom erreicht seine Nulldurchgänge also um $2,50\mathrm{ms}$ später als die Spannung.

Plausibilität: Bei der üblichen Darstellung auf dem Oszilloskop (horizontal-Achse: $2\mathrm{ms}/\mathrm{Div}$) wären das gut ein Kästchen und ein Viertel Versatz – gut sichtbar.

d) Effektivwerte

$$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}=\frac{325\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx \underline{230\mathrm{V}}$$ $$I=\frac{\hat{ı}}{\sqrt{2}}=\frac{5,00\mathrm{A}}{\sqrt{2}}\approx \underline{3,54\mathrm{A}}$$

Merkregel: Vorzeichen der Phasenverschiebung

Die Phasenverschiebung $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$ ist eine Eigenschaft des Stromkreises, nicht der einzelnen Zeitfunktion. Sie bleibt unverändert, wenn man den Zeitnullpunkt verschiebt (dann ändern sich ${\phi }_u$ und ${\phi }_i$ um denselben Betrag, ihre Differenz aber nicht).

• $\phi >0$: Spannung vor Strom (induktiv)
• $\phi <0$: Strom vor Spannung (kapazitiv)
• $\phi =0$: in Phase (rein ohmsch)

Brücke zu ET2

In ET2-04 werden wir sehen, dass die Phasenverschiebung $\phi$ durch die Bauelemente des Stromkreises entsteht: Am rein ohmschen Widerstand ist $\phi =0$, an einer idealen Spule $\phi =+90°$, an einem idealen Kondensator $\phi =-90°$. Eine gemischte Last wie hier (mit $\phi =+45°$) verhält sich, als ob der Strom durch eine Reihenschaltung von Widerstand und Spule mit gleich großen Wirk- und Blindanteilen flösse. Der Phasenwinkel entscheidet in ET2-06 über den Leistungsfaktor $\cos \phi$ und damit darüber, wie viel der übertragenen Scheinleistung tatsächlich als Wirkleistung nutzbar wird.