Übung ET2-03.05 – Maschenregel mit komplexen Spannungen

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Wie die Knotenpunktregel in Übung ET2-03.04 gilt auch die Kirchhoffsche Maschenregel aus ET1-06 unverändert in der komplexen Wechselstromrechnung — man muss lediglich die reellen Spannungen durch ihre komplexen Effektivwerte ersetzen. Üben Sie das an einem typischen Maschenumlauf mit mehreren phasenverschobenen Teilspannungen.

In einer Masche eines Wechselstromkreises liegen drei Verbraucher in Reihe an einer Quellspannung $\underline{U}$. Über den Verbrauchern fallen die folgenden Teilspannungen ab (jeweils in Polarform, alle mit derselben Frequenz):

$${\underline{U}}_1=100\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 0°},{\underline{U}}_2=80,0\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 90°},{\underline{U}}_3=30,0\mathrm{V}\cdot e^{-j\cdot 90°}$$

Als Umlaufsinn wählen wir den Uhrzeigersinn. Die Zählpfeile der Verbraucherspannungen ${\underline{U}}_1,{\underline{U}}_2,{\underline{U}}_3$ zeigen in Umlaufrichtung; der Zählpfeil der Quellspannung $\underline{U}$ zeigt gegen die Umlaufrichtung.

a) Stellen Sie die Maschenregel in komplexer Form für diese Masche auf und lösen Sie nach $\underline{U}$ auf.

b) Berechnen Sie $\underline{U}$ in kartesischer Form.

c) Geben Sie $\underline{U}$ in Polarform an. Bestimmen Sie sowohl den Effektivwert $|\underline{U}|$ als auch den Phasenwinkel ${\phi }_U$ gegenüber ${\underline{U}}_1$.

d) Begründen Sie kurz, warum sich der Effektivwert der Quellspannung nicht aus der einfachen Summe $U_1+U_2-U_3=100\mathrm{V}+80\mathrm{V}-30\mathrm{V}=150\mathrm{V}$ ergibt — obwohl genau diese Rechnung im Gleichstromkreis ($\omega =0$) korrekt wäre.

Lösung

a) $\underline{U}={\underline{U}}_1+{\underline{U}}_2+{\underline{U}}_3$
b) $\underline{U}=100\mathrm{V}+j\cdot 50,0\mathrm{V}$
c) $\underline{U}=112\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 26,6°}$, eilt ${\underline{U}}_1$ um $26,6°$ voraus
d) Skalare Summe $150\mathrm{V}$ ignoriert die Phasenverschiebung und liegt um $34\%$ über dem korrekten Effektivwert $|\underline{U}|=112\mathrm{V}$.

▶️ Vollständiger Lösungsweg