Übung ET2-07.05 – Drossel mit Luftspalt (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Bezug zu ET2-07 Magnetischer Kreis

Aufgabe

Eine Speicherdrossel für ein Schaltnetzteil soll mit einem Ferritkern und einem geeigneten Luftspalt aufgebaut werden. Der Luftspalt soll so bemessen werden, dass die geforderte Induktivität erreicht und der Kern bei Maximalstrom nicht in die Sättigung getrieben wird.

• gewünschte Induktivität: $L=1,0\mathrm{mH}$
• Windungszahl: $N=100$
• Kernquerschnitt: $A=2,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$
• mittlere Eisenweglänge: $l_{\mathrm{Fe}}=0,15\mathrm{m}$
• relative Permeabilität des Ferrits: ${\mu }_r=3000$
• Sättigungsflussdichte des Ferrits: $B_{\mathrm{sat}}=0,40\mathrm{T}$
• maximaler Betriebsstrom: $I_{\max }=5,0\mathrm{A}$

Streuflüsse werden vernachlässigt; der Luftspalt-Querschnitt entspricht dem Eisen-Querschnitt.

a) Berechnen Sie aus der geforderten Induktivität den notwendigen magnetischen Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$.

b) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand des Eisens $R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}$ und daraus den noch fehlenden Anteil $R_{\mathrm{m},\mathrm{Luft}}$. Bestimmen Sie die erforderliche Luftspaltlänge $l_{\mathrm{Luft}}$.

c) Berechnen Sie den Sättigungsstrom $I_{\mathrm{sat}}$ der dimensionierten Drossel. Liegt $I_{\max }$ ausreichend darunter? Geben Sie die Reserve $I_{\mathrm{sat}}/I_{\max }$ an.

d) Nehmen Sie an, der Luftspalt würde weggelassen ($l_{\mathrm{Luft}}=0$). Welche Induktivität $L_0$ und welcher Sättigungsstrom $I_{\mathrm{sat},0}$ ergäben sich? Bewerten Sie das Ergebnis: Wäre die Drossel ohne Luftspalt für den geforderten Maximalstrom geeignet?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $L=1,0\mathrm{mH}=1,0\cdot 10^{-3}\mathrm{H}$
• $N=100$
• $A=2,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=2,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• $l_{\mathrm{Fe}}=0,15\mathrm{m}$, ${\mu }_r=3000$
• $B_{\mathrm{sat}}=0,40\mathrm{T}$, $I_{\max }=5,0\mathrm{A}$

Bekannt:

• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$
• Induktivität aus Reluktanz (ET2-07): $L=\frac{N^2}{R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}}$
• Reluktanzen (ET2-07): $R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0{\mu }_{r}A}$, $R_{\mathrm{m},\mathrm{Luft}}=\frac{l_{\mathrm{Luft}}}{{\mu }_{0}A}$
• Sättigungsbedingung: ${\Phi }_{\mathrm{sat}}=B_{\mathrm{sat}}\cdot A$, ${\Theta }_{\mathrm{sat}}={\Phi }_{\mathrm{sat}}\cdot R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$, $I_{\mathrm{sat}}={\Theta }_{\mathrm{sat}}/N$

Gesucht

a) $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$ in $A/Wb$
b) $R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}$, $R_{\mathrm{m},\mathrm{Luft}}$ in $A/Wb$, $l_{\mathrm{Luft}}$ in $\mathrm{mm}$
c) $I_{\mathrm{sat}}$ in $\mathrm{A}$, Reserve $I_{\mathrm{sat}}/I_{\max }$
d) $L_0$ in $\mathrm{mH}$, $I_{\mathrm{sat},0}$ in $\mathrm{A}$, Bewertung

a) Erforderlicher Gesamtwiderstand

Auflösen von $L=N^2/R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$ nach $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$:

$$R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}=\frac{N^2}{L}=\frac{100^2}{1,0\cdot 10^{-3}\mathrm{H}}=\frac{10000}{1,0\cdot 10^{-3}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{1,00\cdot 10^7\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

b) Aufteilung auf Eisen und Luftspalt

Eisen:

$$R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}=\frac{0,15\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 3000\cdot 2,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}=\frac{0,15}{7,540\cdot 10^{-7}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{1,99\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

Erforderlicher Luftspalt-Anteil:

$$R_{\mathrm{m},\mathrm{Luft}}=R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}-R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}=1,00\cdot 10^7-1,99\cdot 10^5=\underline{9,80\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

Der Luftspalt liefert $98,0\%$ des Gesamtwiderstands. Die Reluktanz des Ferritkerns ist gegenüber dem Luftspalt vernachlässigbar.

Erforderliche Luftspaltlänge (Auflösung von $R_{\mathrm{m},\mathrm{Luft}}=l_{\mathrm{Luft}}/({\mu }_{0}A)$):

$$l_{\mathrm{Luft}}=R_{\mathrm{m},\mathrm{Luft}}\cdot {\mu }_0\cdot A=9,80\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}\cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 2,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$$ $$l_{\mathrm{Luft}}=9,80\cdot 10^6\cdot 2,513\cdot 10^{-10}\mathrm{m}=2,463\cdot 10^{-3}\mathrm{m}=\underline{2,46\mathrm{mm}}$$

c) Sättigungsstrom-Prüfung

Sättigungsfluss (gerade noch zulässige Flussdichte $B_{\mathrm{sat}}$ am Kernquerschnitt):

$${\Phi }_{\mathrm{sat}}=B_{\mathrm{sat}}\cdot A=0,40\mathrm{T}\cdot 2,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2=8,00\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}$$

Sättigungsdurchflutung:

$${\Theta }_{\mathrm{sat}}={\Phi }_{\mathrm{sat}}\cdot R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}=8,00\cdot 10^{-5}\cdot 1,00\cdot 10^7\mathrm{A}=800\mathrm{A}$$

Sättigungsstrom:

$$I_{\mathrm{sat}}=\frac{{\Theta }_{\mathrm{sat}}}{N}=\frac{800\mathrm{A}}{100}=\underline{8,00\mathrm{A}}$$

Sicherheits-Reserve:

$$\frac{I_{\mathrm{sat}}}{I_{\max }}=\frac{8,00\mathrm{A}}{5,0\mathrm{A}}=\underline{1,60}$$

Die Drossel hält bis $8\mathrm{A}$ ihre Induktivität annähernd konstant; bei Maximalstrom $I_{\max }=5\mathrm{A}$ liegt die Flussdichte bei $B=(I_{\max }/I_{\mathrm{sat}})\cdot B_{\mathrm{sat}}=0,25\mathrm{T}$ und damit deutlich unter $B_{\mathrm{sat}}$. Die $60\%$ Reserve ist für Schaltnetzteile typisch und verträgt kurze Stromspitzen.

d) Vergleich ohne Luftspalt

Gesamtwiderstand ohne Luftspalt (nur Eisen):

$$R_{\mathrm{m},\mathrm{ges},0}=R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}=1,99\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

Induktivität ohne Luftspalt:

$$L_0=\frac{N^2}{R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}}=\frac{10000}{1,99\cdot 10^5}\mathrm{H}=5,03\cdot 10^{-2}\mathrm{H}=\underline{50,3\mathrm{mH}}$$

Das ist mehr als das 50-fache der geforderten Induktivität $L=1\mathrm{mH}$.

Sättigungsstrom ohne Luftspalt:

$${\Theta }_{\mathrm{sat},0}={\Phi }_{\mathrm{sat}}\cdot R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}=8,00\cdot 10^{-5}\cdot 1,99\cdot 10^5\mathrm{A}=15,9\mathrm{A}$$ $$I_{\mathrm{sat},0}=\frac{{\Theta }_{\mathrm{sat},0}}{N}=\frac{15,9\mathrm{A}}{100}=\underline{0,159\mathrm{A}}$$

Bewertung:

Ohne Luftspalt sättigt der Kern bereits bei $I\approx 0,16\mathrm{A}$ – das sind nur $3\%$ des geforderten Maximalstroms $I_{\max }=5\mathrm{A}$. Bei Nennlast wäre die Drossel vollständig in der Sättigung: ${\mu }_r$ würde gegen 1 einbrechen, die Induktivität schlagartig zusammenfallen und der Strom unkontrolliert ansteigen.

Der Luftspalt erfüllt damit zwei zusammengehörige Funktionen:

1. Er senkt die Induktivität vom unbrauchbaren $L_0=50\mathrm{mH}$ auf den geforderten Wert $L=1\mathrm{mH}$.
2. Er erhöht den Sättigungsstrom von $0,16\mathrm{A}$ auf $8,0\mathrm{A}$ (Faktor $50$).

Beide Effekte sind dieselbe Münze: Mit dem Luftspalt wird $R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$ um den Faktor $\approx 50$ vergrößert. Da $L=N^2/R_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}$ und $I_{\mathrm{sat}}=B_{\mathrm{sat}}A{R}_{\mathrm{m},\mathrm{ges}}/N$, sinkt $L$ und steigt $I_{\mathrm{sat}}$ jeweils um diesen Faktor.

Designregel

In der Praxis wird die Windungszahl $N$ und die Luftspaltlänge $l_{\mathrm{Luft}}$ gemeinsam optimiert: $L\sim N^2/l_{\mathrm{Luft}}$ und $I_{\mathrm{sat}}\sim l_{\mathrm{Luft}}/N$. Wer mehr Strom erlaubt (größerer Luftspalt), braucht für dieselbe Induktivität mehr Windungen – und damit mehr Bauraum und höheren Wicklungswiderstand. Das ist der zentrale Trade-off im Design jeder Drosselspule.

Brücke zu ET2

Die hier dimensionierte Drossel arbeitet im realen Schaltnetzteil unter pulsierender Strombelastung. Welcher Spannungsabfall an der Drossel auftritt und wie sich das Wechselstromverhalten realer Spulen quantitativ beschreiben lässt, entwickelt ET2-08 mit dem komplexen Widerstand ${\underline{Z}}_L=j\omega L$ aus ET2-03.

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