Übung ET2-07.06 – Arbeitspunkt aus B-H-Kennlinie (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Bezug zu ET2-07 Magnetischer Kreis

Aufgabe

In den vorherigen Übungen wurde der magnetische Kreis stets mit einer konstanten relativen Permeabilität ${\mu }_r$ gerechnet. Für höhere Flussdichten in der Nähe des Knies der B-H-Kennlinie ist diese Näherung nicht mehr zulässig. Die folgende Aufgabe rechnet direkt mit der gemessenen Kennlinie eines Stahlgusskerns – das systematische Vorgehen aus Abschnitt 7.4 der Lektion.

Ein Elektromagnet mit Eisenkern und Luftspalt soll im Luftspalt eine Flussdichte von $B=1,5\mathrm{T}$ erzeugen. Streuflüsse werden vernachlässigt; der Querschnitt im Luftspalt entspricht dem im Eisen.

• Windungszahl: $N=600$
• mittlere Eisenweglänge: $l_{\mathrm{Fe}}=0,25\mathrm{m}$
• Luftspaltlänge: $l_{\mathrm{Luft}}=0,5\mathrm{mm}$
• Querschnitt: $A=3,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$
• gewünschte Flussdichte: $B=1,5\mathrm{T}$

B-H-Kennlinie des Kernmaterials (Stützstellen aus dem Datenblatt):

$B$ in $\mathrm{T}$	$0,5$	$1,0$	$1,2$	$1,4$	$1,5$	$1,6$	$1,7$
$H$ in $A/m$	$200$	$500$	$800$	$1500$	$2500$	$5000$	$12000$

a) Berechnen Sie den erforderlichen magnetischen Fluss $\Phi$.

b) Lesen Sie aus der Tabelle die Feldstärke $H_{\mathrm{Fe}}$ ab und berechnen Sie den magnetischen Spannungsabfall im Eisen $V_{m,\mathrm{Fe}}$.

c) Berechnen Sie die Feldstärke im Luftspalt $H_{\mathrm{Luft}}$ und den magnetischen Spannungsabfall $V_{m,\mathrm{Luft}}$.

d) Berechnen Sie die erforderliche Durchflutung $\Theta$ und die Stromstärke $I$.

e) Vergleichen Sie mit einer linearen Näherung, die für das Eisen pauschal ${\mu }_r=2000$ ansetzt. Welcher Strom $I_{\mathrm{lin}}$ käme heraus? Wie groß ist der relative Fehler $(I-I_{\mathrm{lin}})/I$? Erklären Sie, warum die lineare Rechnung den realen Strom unterschätzt.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $N=600$
• $l_{\mathrm{Fe}}=0,25\mathrm{m}$
• $l_{\mathrm{Luft}}=0,5\mathrm{mm}=5,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}$
• $A=3,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=3,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• $B=1,5\mathrm{T}$
• B-H-Kennlinie als Tabelle

Bekannt:

• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$
• Fluss aus Flussdichte: $\Phi =B\cdot A$
• Feldstärke im Luftspalt (${\mu }_r=1$): $H_{\mathrm{Luft}}=B/{\mu }_0$
• Durchflutungssatz für stückweise homogenes Feld (ET2-07): $\Theta ={\sum }_k{H}_k\cdot l_k$
• Durchflutung: $\Theta =N\cdot I$

Gesucht

a) $\Phi$ in $\mathrm{Wb}$
b) $H_{\mathrm{Fe}}$ aus Tabelle, $V_{m,\mathrm{Fe}}$ in $\mathrm{A}$
c) $H_{\mathrm{Luft}}$ in $A/m$, $V_{m,\mathrm{Luft}}$ in $\mathrm{A}$
d) $\Theta$ in $\mathrm{A}$, $I$ in $\mathrm{A}$
e) $I_{\mathrm{lin}}$ bei ${\mu }_r=2000$, relativer Fehler, Erklärung

a) Magnetischer Fluss

$$\Phi =B\cdot A=1,5\mathrm{T}\cdot 3,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2=\underline{4,50\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}}$$

Da der Querschnitt in Eisen und Luftspalt gleich ist, gilt diese Flussdichte in beiden Abschnitten.

b) Feldstärke und Spannungsabfall im Eisen

Aus der B-H-Kennlinie bei $B=1,5\mathrm{T}$ ablesen:

$$H_{\mathrm{Fe}}=\underline{2500\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}}$$

Magnetischer Spannungsabfall:

$$V_{m,\mathrm{Fe}}=H_{\mathrm{Fe}}\cdot l_{\mathrm{Fe}}=2500\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}\cdot 0,25\mathrm{m}=\underline{625\mathrm{A}}$$

c) Feldstärke und Spannungsabfall im Luftspalt

$$H_{\mathrm{Luft}}=\frac{B}{{\mu }_0}=\frac{1,5\mathrm{T}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m}=\frac{1,5}{1,2566\cdot 10^{-6}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}=\underline{1,19\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}}$$

Magnetischer Spannungsabfall:

$$V_{m,\mathrm{Luft}}=H_{\mathrm{Luft}}\cdot l_{\mathrm{Luft}}=1,194\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}\cdot 5,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}=\underline{597\mathrm{A}}$$

d) Erforderliche Durchflutung und Stromstärke

Durchflutungssatz:

$$\Theta =V_{m,\mathrm{Fe}}+V_{m,\mathrm{Luft}}=625\mathrm{A}+597\mathrm{A}=\underline{1222\mathrm{A}}$$

Erforderliche Stromstärke:

$$I=\frac{\Theta }{N}=\frac{1222\mathrm{A}}{600}=\underline{2,04\mathrm{A}}$$

Bei diesem Arbeitspunkt teilt sich die Durchflutung etwa hälftig auf Eisen und Luftspalt auf:

$$\frac{V_{m,\mathrm{Fe}}}{\Theta }=\frac{625}{1222}=51,1\%,\frac{V_{m,\mathrm{Luft}}}{\Theta }=\frac{597}{1222}=48,9\%$$

e) Vergleich mit linearer Näherung

Lineare Annahme ${\mu }_r=2000$ für das Eisen:

$$R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe},\mathrm{lin}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}=\frac{0,25\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 2000\cdot 3,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe},\mathrm{lin}}=\frac{0,25}{7,540\cdot 10^{-7}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=3,316\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

Magnetischer Spannungsabfall im Eisen (linear):

$$V_{m,\mathrm{Fe},\mathrm{lin}}=\Phi \cdot R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe},\mathrm{lin}}=4,50\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}\cdot 3,316\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=149\mathrm{A}$$

Der Luftspalt-Anteil bleibt unverändert ($V_{m,\mathrm{Luft}}=597\mathrm{A}$), weil Luft linear ist.

Lineare Durchflutung und linearer Strom:

$${\Theta }_{\mathrm{lin}}=V_{m,\mathrm{Fe},\mathrm{lin}}+V_{m,\mathrm{Luft}}=149+597=746\mathrm{A}$$ $$I_{\mathrm{lin}}=\frac{{\Theta }_{\mathrm{lin}}}{N}=\frac{746\mathrm{A}}{600}=\underline{1,24\mathrm{A}}$$

Relativer Fehler:

$$\frac{I-I_{\mathrm{lin}}}{I}=\frac{2,04-1,24}{2,04}=0,392=\underline{39,2\%}$$

Die lineare Rechnung unterschätzt den realen Strom um rund $40\%$.

Erklärung:

Die wahre statische Permeabilität bei $B=1,5\mathrm{T}$ folgt direkt aus der Kennlinie:

$${\mu }_{r,\mathrm{real}}=\frac{B}{{\mu }_0\cdot H_{\mathrm{Fe}}}=\frac{1,5\mathrm{T}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 2500A/m}=\frac{1,5}{3,142\cdot 10^{-3}}\approx 477$$

Die Annahme ${\mu }_r=2000$ überschätzt die reale Permeabilität bei diesem Arbeitspunkt um den Faktor $2000/477\approx 4,2$. Das senkt $R_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}}$ – und damit den Eisen-Beitrag zur Durchflutung – im linearen Modell ebenfalls um diesen Faktor. Da aber der Luftspalt-Anteil unverändert bleibt, wirkt sich der Fehler nicht $1:1$ auf den Gesamtstrom aus: Aus $V_{m,\mathrm{Fe}}=625\mathrm{A}$ wird in der linearen Rechnung $149\mathrm{A}$ – ein Defizit von $476\mathrm{A}$, das die Spule in der Realität zusätzlich aufbringen muss.

Zwei Lehren aus diesem Vergleich

1. Knie-Bereich. Sobald $B$ in den Bereich des Sättigungsknies kommt (bei diesem Werkstoff oberhalb von etwa $1,3\mathrm{T}$), ist die lineare Rechnung mit konstantem ${\mu }_r$ unzuverlässig. Die B-H-Kennlinie muss verwendet werden.
2. Auslegungsregel. Wenn ein Elektromagnet die geforderte Flussdichte „sicher” erreichen soll, muss in der Praxis ein Sicherheitszuschlag auf die linear berechnete Durchflutung gelegt werden. Alternativ wird der Arbeitspunkt absichtlich unter $1\mathrm{T}$ gehalten – dann ist die lineare Rechnung gut genug.

Inverses Problem: Fluss bei gegebenem Strom

In dieser Übung war $B$ vorgegeben und $I$ gesucht (direktes Problem). Der umgekehrte Fall – $I$ vorgegeben, $\Phi$ gesucht – ist nichtlinear und in Abschnitt 7.4 der Lektion beschrieben. Er erfordert ein iteratives oder grafisches Verfahren auf der B-H-Kennlinie.

Brücke zu ET2

Die Nichtlinearität des Eisens ist die Ursache dafür, dass eine reale Spule mit Eisenkern keinen rein sinusförmigen Magnetisierungsstrom zieht – auch wenn die anliegende Spannung sinusförmig ist. Diese Stromformverzerrung und die daraus folgenden Hystereseverluste sind ein Kernthema der nächsten Lektion ET2-08 und werden in der Energietechnik bei Transformatoren und Drosseln betrachtet.

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