Übung ET2-08.06 – Schaltschütz in der Heizungssteuerung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Bezug zu ET2-08 Induktivität und Reale Spule

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Aufgabe

In der Heizungsanlage einer Werkstatt schaltet ein Schütz den Antriebsmotor der Umwälzpumpe. Der Heizungsregler legt zum Anlauf $t=0$ die Steuerspannung an die Schützspule, der Strom durch die Spule steigt nach dem typischen LR-Verlauf an. Erst wenn der Spulenstrom groß genug ist, zieht der Anker mechanisch an und schaltet die Hauptkontakte zum Motor.

• Induktivität der Schützspule: $L=200\mathrm{mH}$
• Wicklungswiderstand der Spule: $R=80\mathrm{\Omega }$
• Steuerspannung (Gleichspannung): $U=24\mathrm{V}$

a) Berechnen Sie die Zeitkonstante $\tau$ der Schützspule.
b) Berechnen Sie den stationären Endstrom $I_{\infty }$, der sich im Dauerbetrieb durch die Spule einstellt.
c) Welchen Wert hat der Spulenstrom $i(t_1)$ zum Zeitpunkt $t_1=1,0\mathrm{ms}$ nach dem Einschalten?
d) Nach welcher Zeit $t_{95}$ hat der Strom $95\%$ seines stationären Endwertes erreicht?
e) Welche Energie $E_L$ ist im Magnetfeld der Spule im stationären Zustand gespeichert?

Kurzlösung

a) $\tau =2,50\mathrm{ms}$
b) $I_{\infty }=300\mathrm{mA}$
c) $i(t_1)=98,9\mathrm{mA}$
d) $t_{95}=7,49\mathrm{ms}\approx 3\tau$
e) $E_L=9,00\mathrm{mJ}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $L=200\mathrm{mH}$
• $R=80\mathrm{\Omega }$
• $U=24\mathrm{V}$
• $t_1=1,0\mathrm{ms}$

Bekannt:

• Zeitkonstante der LR-Reihenschaltung (ET2-08): $\tau =\frac{L}{R}$
• Stromverlauf beim Einschalten (ET2-08): $i(t)=\frac{U}{R}\left(1-e^{-t/\tau }\right)$
• Stationärer Endstrom: $I_{\infty }=\frac{U}{R}$
• Energie im Magnetfeld (ET2-08): $E_L=\frac{1}{2}L{I}^2$

Gesucht

a) $\tau$ in $\mathrm{ms}$
b) $I_{\infty }$ in $\mathrm{mA}$
c) $i(t_1)$ in $\mathrm{mA}$
d) $t_{95}$ mit $i(t_{95})=0,95\cdot I_{\infty }$
e) $E_L$ in $\mathrm{mJ}$ im stationären Zustand

a) Zeitkonstante

$$\tau =\frac{L}{R}=\frac{200\cdot 10^{-3}\mathrm{H}}{80\mathrm{\Omega }}=2,50\cdot 10^{-3}\mathrm{s}=\underline{2,50\mathrm{ms}}$$

b) Stationärer Endstrom

$$I_{\infty }=\frac{U}{R}=\frac{24\mathrm{V}}{80\mathrm{\Omega }}=0,300\mathrm{A}=\underline{300\mathrm{mA}}$$

c) Strom bei $t_1=1,0\mathrm{ms}$

Verhältnis $t_1/\tau$ bilden und in den Stromverlauf einsetzen:

$$\frac{t_1}{\tau }=\frac{1,0\mathrm{ms}}{2,50\mathrm{ms}}=0,400$$ $$i(t_1)=I_{\infty }\cdot \left(1-e^{-t_1/\tau }\right)=300\mathrm{mA}\cdot \left(1-e^{-0,400}\right)=300\mathrm{mA}\cdot \left(1-0,6703\right)=300\mathrm{mA}\cdot 0,3297=\underline{98,9\mathrm{mA}}$$

Nach $1,0\mathrm{ms}$ fließen also rund $33\%$ des Endstroms — das entspricht dem zu erwartenden Verlauf zwischen $0$ ($t=0$) und $63,2\%$ (bei $t=\tau =2,5\mathrm{ms}$).

d) Zeit bis 95 % des Endstroms

Bedingung $i(t_{95})=0,95\cdot I_{\infty }$ einsetzen und nach $t_{95}$ auflösen:

$$0,95\cdot I_{\infty }=I_{\infty }\left(1-e^{-t_{95}/\tau }\right)\Rightarrow e^{-t_{95}/\tau }=0,05$$

Logarithmieren beider Seiten:

$$-\frac{t_{95}}{\tau }=\ln (0,05)\Rightarrow t_{95}=-\tau \cdot \ln (0,05)=-2,50\mathrm{ms}\cdot (-2,996)$$ $$t_{95}=\underline{7,49\mathrm{ms}}\approx 3\tau$$

e) Energie im Magnetfeld im stationären Zustand

Im stationären Zustand fließt der konstante Strom $I_{\infty }$ durch die Spule, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ — die gesamte gespeicherte Energie sitzt im Magnetfeld der Spule:

$$E_L=\frac{1}{2}L{I}_{\infty }^2=\frac{1}{2}\cdot 200\cdot 10^{-3}\mathrm{H}\cdot (0,300\mathrm{A}{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot 0,09\mathrm{J}=9,00\cdot 10^{-3}\mathrm{J}=\underline{9,00\mathrm{mJ}}$$

Faustregel und mechanische Verzögerung

Das Ergebnis $t_{95}\approx 3\tau$ stimmt mit der Faustregel-Tabelle aus der Lektion überein ($95,0\%$ nach $3\tau$). In der Praxis bestimmt allerdings nicht nur dieser elektrische Anstieg die Schaltzeit eines Schützes — die mechanische Trägheit des Ankers und der Hauptkontakte addiert in Realität typischerweise weitere $5\dots 20\mathrm{ms}$ hinzu. Beim Abschalten muss die gespeicherte Energie $E_L=9,00\mathrm{mJ}$ kontrolliert über eine Freilaufdiode oder einen Varistor abgebaut werden, sonst entstehen Spannungsspitzen am Schaltkontakt.

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