Übung ET2-03.05 – Maschenregel mit komplexen Spannungen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Wie die Knotenpunktregel in Übung ET2-03.04 gilt auch die Kirchhoffsche Maschenregel aus ET1-06 unverändert in der komplexen Wechselstromrechnung — man muss lediglich die reellen Spannungen durch ihre komplexen Effektivwerte ersetzen. Üben Sie das an einem typischen Maschenumlauf mit mehreren phasenverschobenen Teilspannungen.

In einer Masche eines Wechselstromkreises liegen drei Verbraucher in Reihe an einer Quellspannung $\underline{U}$. Über den Verbrauchern fallen die folgenden Teilspannungen ab (jeweils in Polarform, alle mit derselben Frequenz):

$${\underline{U}}_1=100\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 0°},{\underline{U}}_2=80,0\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 90°},{\underline{U}}_3=30,0\mathrm{V}\cdot e^{-j\cdot 90°}$$

Als Umlaufsinn wählen wir den Uhrzeigersinn. Die Zählpfeile der Verbraucherspannungen ${\underline{U}}_1,{\underline{U}}_2,{\underline{U}}_3$ zeigen in Umlaufrichtung; der Zählpfeil der Quellspannung $\underline{U}$ zeigt gegen die Umlaufrichtung.

a) Stellen Sie die Maschenregel in komplexer Form für diese Masche auf und lösen Sie nach $\underline{U}$ auf.

b) Berechnen Sie $\underline{U}$ in kartesischer Form.

c) Geben Sie $\underline{U}$ in Polarform an. Bestimmen Sie sowohl den Effektivwert $|\underline{U}|$ als auch den Phasenwinkel ${\phi }_U$ gegenüber ${\underline{U}}_1$.

d) Begründen Sie kurz, warum sich der Effektivwert der Quellspannung nicht aus der einfachen Summe $U_1+U_2-U_3=100\mathrm{V}+80\mathrm{V}-30\mathrm{V}=150\mathrm{V}$ ergibt — obwohl genau diese Rechnung im Gleichstromkreis ($\omega =0$) korrekt wäre.

Lösung

a) $\underline{U}={\underline{U}}_1+{\underline{U}}_2+{\underline{U}}_3$
b) $\underline{U}=100\mathrm{V}+j\cdot 50,0\mathrm{V}$
c) $\underline{U}=112\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 26,6°}$, eilt ${\underline{U}}_1$ um $26,6°$ voraus
d) Skalare Summe $150\mathrm{V}$ ignoriert die Phasenverschiebung und liegt um $34\%$ über dem korrekten Effektivwert $|\underline{U}|=112\mathrm{V}$.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• ${\underline{U}}_1=100\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 0°}$
• ${\underline{U}}_2=80,0\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 90°}$
• ${\underline{U}}_3=30,0\mathrm{V}\cdot e^{-j\cdot 90°}$
• Umlaufsinn: Uhrzeigersinn; Zählpfeile ${\underline{U}}_1,{\underline{U}}_2,{\underline{U}}_3$ in Umlaufrichtung (Vorzeichen $+$), Zählpfeil $\underline{U}$ gegen die Umlaufrichtung (Vorzeichen $-$)

Bekannt:

• Maschenregel in komplexer Form (ET2-03): Summe aller komplexen Spannungen entlang einer geschlossenen Masche ist null
• Vorzeichenkonvention: Spannungen in Umlaufrichtung positiv, Spannungen gegen die Umlaufrichtung negativ
• Polarform $\to$ kartesisch (ET2-03): $a=r\cos \phi$, $b=r\sin \phi$
• Quadrantenregel (ET2-03): bei $a>0$, $b>0$ keine Korrektur (1. Quadrant)

Gesucht

a) Maschengleichung, aufgelöst nach $\underline{U}$
b) $\underline{U}$ in kartesischer Form
c) $\underline{U}$ in Polarform mit Phasenwinkel gegenüber ${\underline{U}}_1$
d) Begründung, warum die skalare Summe falsch ist

a) Maschenregel in komplexer Form

Mit der Vorzeichenkonvention “Zählpfeil in Umlaufrichtung positiv, Zählpfeil gegen Umlaufrichtung negativ” und der Pfeilwahl der Aufgabe ($\underline{U}$ gegen den Umlauf, ${\underline{U}}_1,{\underline{U}}_2,{\underline{U}}_3$ in Umlaufrichtung) lautet die Maschenregel:

$$-\underline{U}+{\underline{U}}_1+{\underline{U}}_2+{\underline{U}}_3=0$$

Aufgelöst nach der Quellspannung:

$$\underline{U}={\underline{U}}_1+{\underline{U}}_2+{\underline{U}}_3$$

b) Berechnung in kartesischer Form

Zuerst alle drei Teilspannungen in kartesische Form:

$${\underline{U}}_1=100\cdot \cos 0°+j\cdot 100\cdot \sin 0°=100\mathrm{V}+j\cdot 0\mathrm{V}$$ $${\underline{U}}_2=80\cdot \cos 90°+j\cdot 80\cdot \sin 90°=0\mathrm{V}+j\cdot 80,0\mathrm{V}$$ $${\underline{U}}_3=30\cdot \cos (-90°)+j\cdot 30\cdot \sin (-90°)=0\mathrm{V}-j\cdot 30,0\mathrm{V}$$

Komponentenweise Addition:

$$\mathrm{Re}\{\underline{U}\}=100+0+0=100\mathrm{V}$$ $$\mathrm{Im}\{\underline{U}\}=0+80,0+(-30,0)=50,0\mathrm{V}$$ $$\underline{U}=\underline{100\mathrm{V}+j\cdot 50,0\mathrm{V}}$$

Die imaginären Anteile von ${\underline{U}}_2$ und ${\underline{U}}_3$ haben entgegengesetzte Vorzeichen und kompensieren sich teilweise — aus den Teilbeträgen $80\mathrm{V}$ und $30\mathrm{V}$ wird im Imaginärteil nur $50\mathrm{V}$.

c) Umrechnung in Polarform

Betrag (Effektivwert der Quellspannung):

$$|\underline{U}|=\sqrt{100^2+50,0^2}\mathrm{V}=\sqrt{10000+2500}\mathrm{V}=\sqrt{12500}\mathrm{V}=111,8\mathrm{V}$$

Auf 3 signifikante Stellen:

$$|\underline{U}|=\underline{112\mathrm{V}}$$

Phasenwinkel (1. Quadrant, keine Korrektur nötig):

$${\phi }_U=\arctan \left(\frac{50,0}{100}\right)=\arctan (0,500)=\underline{26,6°}$$ $$\underline{U}=\underline{112\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 26,6°}}$$

Da ${\phi }_{U_1}=0°$ ist, eilt die Quellspannung der Teilspannung ${\underline{U}}_1$ um genau diese $26,6°$ voraus.

d) Warum die skalare Summe falsch ist

Die naive Rechnung

$$U\stackrel{?}{=}{U}_1+U_2-U_3=100\mathrm{V}+80\mathrm{V}-30\mathrm{V}=150\mathrm{V}$$

setzt voraus, dass alle drei Teilspannungen ihren Maximalwert gleichzeitig erreichen (${\underline{U}}_2$ und ${\underline{U}}_3$ mit jeweils gleichem bzw. entgegengesetztem Vorzeichen wie ${\underline{U}}_1$). Tatsächlich ist:

• ${\underline{U}}_2$ um $90°$ gegenüber ${\underline{U}}_1$ vorauseilend — ihr Maximum tritt also $T/4$ vor dem Maximum von ${\underline{U}}_1$ auf,
• ${\underline{U}}_3$ um $90°$ gegenüber ${\underline{U}}_1$ nacheilend — ihr Maximum tritt $T/4$ nach dem Maximum von ${\underline{U}}_1$ auf.

Die drei Spannungen erreichen ihre Scheitelwerte also zu drei verschiedenen Zeitpunkten. Eine direkte Addition der Beträge ignoriert diese zeitliche Versetzung und überschätzt den tatsächlichen Effektivwert deutlich. Die korrekte Rechnung — komponentenweise Addition der komplexen Spannungen — berücksichtigt die Phasenlagen automatisch und liefert das physikalisch richtige Ergebnis $|\underline{U}|=112\mathrm{V}$. Der Fehler der skalaren Summe beträgt hier:

$$\frac{150\mathrm{V}-112\mathrm{V}}{112\mathrm{V}}=0,340=34,0\%$$

Im Gleichstromkreis mit $\omega =0$ entfällt das Problem, weil dort alle Spannungen zeitlich konstant sind und folglich gleichzeitig ihren “Maximalwert” haben. Phasenverschiebungen existieren nicht, die skalare Addition ist exakt richtig. Genau dieser Unterschied macht die komplexe Rechnung in der AC-Welt unverzichtbar.

Plausibilität über das Zeigerdiagramm

In der komplexen Ebene zeigt ${\underline{U}}_1$ horizontal nach rechts, ${\underline{U}}_2$ senkrecht nach oben, ${\underline{U}}_3$ senkrecht nach unten. ${\underline{U}}_2$ und ${\underline{U}}_3$ heben sich teilweise auf und ergeben einen resultierenden Imaginärteil von $+50\mathrm{V}$. Zusammen mit ${\underline{U}}_1$ ergibt sich ein Zeiger, der von $(0;0)$ zum Punkt $(100;50)$ läuft — knapp $27°$ über der reellen Achse, mit der Länge $\sqrt{100^2+50^2}\approx 112\mathrm{V}$.

Im Kontext von ET2

In ET2-04 werden Sie sehen, dass genau diese Konstellation typisch für eine Reihenschaltung aus Widerstand (${\underline{U}}_1$ in Phase), Spule (${\underline{U}}_2$ um $+90°$ vorauseilend) und Kondensator (${\underline{U}}_3$ um $-90°$ nacheilend) ist — der sogenannte RLC-Reihenkreis. Die hier geübte Maschenrechnung ist die Grundlage für die Berechnung der Klemmenspannung. Wenn die Spulen- und Kondensatorspannungen betragsmäßig gleich sind, kompensieren sie sich vollständig — man spricht dann von Reihenresonanz ($|\underline{U}|=U_R$). Diesem Spezialfall ist die gesamte Lektion ET2-08 gewidmet.

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