Übung ET2-07.01 – Reluktanz eines Ringkerns (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Bezug zu ET2-07 Magnetischer Kreis

Aufgabe

Eine Ringkernspule mit geschlossenem Eisenkern dient als Drosselspule in einem Filter. Die geometrischen und elektrischen Daten sind:

• Windungszahl: $N=250$
• mittlerer Kerndurchmesser: $D=50\mathrm{mm}$
• Kernquerschnitt: $A=1,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$
• Stromstärke: $I=0,20\mathrm{A}$
• Eisenkern mit relativer Permeabilität ${\mu }_r=2000$

Streuflüsse werden vernachlässigt; das Feld im Kern wird als homogen angenommen.

a) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand $R_{\mathrm{m}}$ des Ringkerns.

b) Berechnen Sie die magnetische Durchflutung $\Theta$ und den magnetischen Fluss $\Phi$ im Kern.

c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte $B$ im Kern.

d) Wie ändern sich $\Phi$ und $B$, wenn die Stromstärke auf $I^{\prime }=0,40\mathrm{A}$ verdoppelt wird? Begründen Sie unter Berücksichtigung der Sättigungsflussdichte des Eisens ($B_{\mathrm{sat}}\approx 2,1\mathrm{T}$), warum das Ergebnis einer linearen Rechnung in der Praxis nur eine Obergrenze darstellt.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $N=250$
• $D=50\mathrm{mm}=0,050\mathrm{m}$
• $A=1,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• $I=0,20\mathrm{A}$
• ${\mu }_r=2000$

Bekannt:

• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$
• mittlere Feldlinienlänge des Ringkerns (ET2-07): $l_{\mathrm{Fe}}=\pi \cdot D$
• magnetischer Widerstand (ET2-07): $R_{\mathrm{m}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$
• Durchflutung: $\Theta =N\cdot I$
• Hopkinsonsches Gesetz (ET2-07): $\Theta =\Phi \cdot R_{\mathrm{m}}$
• Flussdichte: $B=\frac{\Phi }{A}$

Gesucht

a) magnetischer Widerstand $R_{\mathrm{m}}$ in $A/Wb$
b) Durchflutung $\Theta$ in $\mathrm{A}$ und magnetischer Fluss $\Phi$ in $\mathrm{Wb}$
c) magnetische Flussdichte $B$ in $\mathrm{T}$
d) ${\Phi }^{\prime }$ und $B^{\prime }$ bei $I^{\prime }=0,40\mathrm{A}$, mit Diskussion der Sättigung

a) Magnetischer Widerstand

Mittlere Feldlinienlänge:

$$l_{\mathrm{Fe}}=\pi \cdot D=\pi \cdot 0,050\mathrm{m}=0,1571\mathrm{m}$$

Magnetischer Widerstand:

$$R_{\mathrm{m}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}=\frac{0,1571\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 2000\cdot 1,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{m}}=\frac{0,1571}{2,513\cdot 10^{-7}}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=\underline{6,25\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

b) Durchflutung und magnetischer Fluss

Durchflutung:

$$\Theta =N\cdot I=250\cdot 0,20\mathrm{A}=\underline{50,0\mathrm{A}}$$

Magnetischer Fluss (Hopkinsonsches Gesetz nach $\Phi$ aufgelöst):

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{\mathrm{m}}}=\frac{50,0\mathrm{A}}{6,25\cdot 10^{5}A/Wb}=\underline{8,00\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}}$$

c) Magnetische Flussdichte

$$B=\frac{\Phi }{A}=\frac{8,00\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}}{1,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}=\underline{0,800\mathrm{T}}$$

Mit $B=0,80\mathrm{T}$ liegt der Arbeitspunkt deutlich unterhalb der Sättigungsflussdichte des Eisens ($B_{\mathrm{sat}}\approx 2,1\mathrm{T}$). Die Annahme einer konstanten Permeabilität ${\mu }_r=2000$ ist daher zulässig.

d) Verdopplung des Stroms

Lineare Rechnung (mit ${\mu }_r=2000=\text{const.}$):

Bei doppeltem Strom verdoppelt sich die Durchflutung. Da $R_{\mathrm{m}}$ in der linearen Näherung unverändert bleibt, verdoppelt sich nach $\Phi =\Theta /R_{\mathrm{m}}$ auch der Fluss – und damit die Flussdichte:

$${\Theta }^{\prime }=N\cdot I^{\prime }=250\cdot 0,40\mathrm{A}=100\mathrm{A}$$ $${\Phi }^{\prime }=\frac{{\Theta }^{\prime }}{R_{\mathrm{m}}}=\frac{100\mathrm{A}}{6,25\cdot 10^{5}A/Wb}=\underline{1,60\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}}$$ $$B^{\prime }=\frac{{\Phi }^{\prime }}{A}=\frac{1,60\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}}{1,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}=\underline{1,60\mathrm{T}}$$

Diskussion der Sättigung:

Mit $B^{\prime }=1,60\mathrm{T}$ liegt der Arbeitspunkt deutlich über dem Knie der typischen B-H-Kennlinie für Eisen. Die statische Permeabilität ${\mu }_r(H)=B/({\mu }_0\cdot H)$ ist in diesem Bereich keine Konstante mehr, sondern fällt mit zunehmender Feldstärke ab (vgl. ET2-07 Abschnitt 7.1). Folge:

• Der reale magnetische Widerstand $R_{\mathrm{m}}$ steigt gegenüber dem linear gerechneten Wert.
• Der reale Fluss ${\Phi }^{\prime }$ ist daher kleiner als $1,60\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}$.
• Die reale Flussdichte $B^{\prime }$ liegt unter $1,60\mathrm{T}$.

Die lineare Rechnung liefert also eine obere Schranke für $\Phi$ und $B$. Eine genauere Berechnung erfordert die B-H-Kennlinie des konkreten Werkstoffs (siehe Übung ET2-07.06).

Faustregel zur linearen Näherung

Die Annahme ${\mu }_r=const.$ ist zulässig, solange $B$ deutlich unter dem Knie der B-H-Kennlinie bleibt – bei Eisen typischerweise $B\lesssim 1,2\mathrm{T}$. Sobald $B\gtrsim 1,5\mathrm{T}$ erreicht wird, ist die nichtlineare Rechnung mit der Kennlinie erforderlich.

Brücke zu ET2

In ET2-08 wird der Zusammenhang zwischen magnetischem Widerstand und Induktivität ausgebaut: Mit $L=N^2/R_{\mathrm{m}}$ liefert die hier berechnete Reluktanz direkt die Induktivität der Drosselspule. Sättigung des Kerns wird dort als Ursache für nichtlineares Spulenverhalten im Wechselstromkreis sichtbar.

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